Sobre el número de topologías en un conjunto finito

Se presenta la historia y los últimos resultados en la respuestaparcial a la pregunta: ¿Cuántas topolog´ıas se pueden construir sobre un conjunto finito X? Las respuestas se presentan en términos de las relaciones entre las topologías finitas y sus correspondientes preórdenes, órdenes, grafos, digra...