Homología persistente y curvatura discreta en el análisis topológico de datos
En este trabajo se expone la teoría básica necesaria para aplicar la homología persistente para el análisis topológico de datos, utilizando el algoritmo de Vietoris-Rips. La presentación incluye las herramientas necesarias de homología simplicial y la construcción de los complejos simpliciales reque...
- Autores:
- Tipo de recurso:
- masterThesis
- Fecha de publicación:
- 2023
- Institución:
- Pontificia Universidad Javeriana
- Repositorio:
- Repositorio Universidad Javeriana
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repository.javeriana.edu.co:10554/64088
- Acceso en línea:
- http://hdl.handle.net/10554/64088
- Palabra clave:
- Homologia simplicial
Homología persistente
Curvatura discreta
Forman-Ricci
Grafo
Análisis de redes
Topología algebraica
Redes de corrupción
Simplicial homology
Persistent homology
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Maestría en matemáticas - Tesis y disertaciones académicas
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Análisis de datos
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Homología persistente y curvatura discreta en el análisis topológico de datos Duque Giraldo, Fabio Alejandro Homologia simplicial Homología persistente Curvatura discreta Forman-Ricci Grafo Análisis de redes Topología algebraica Redes de corrupción Simplicial homology Persistent homology Discrete curvature Forman-Ricci Network analysis Algebraic topology Corruption networks Graph Maestría en matemáticas - Tesis y disertaciones académicas Teoría homológica Análisis de redes Análisis de datos |
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Homologia simplicial Homología persistente Curvatura discreta Forman-Ricci Grafo Análisis de redes Topología algebraica Redes de corrupción Simplicial homology Persistent homology Discrete curvature Forman-Ricci Network analysis Algebraic topology Corruption networks Graph Maestría en matemáticas - Tesis y disertaciones académicas Teoría homológica Análisis de redes Análisis de datos |
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En este trabajo se expone la teoría básica necesaria para aplicar la homología persistente para el análisis topológico de datos, utilizando el algoritmo de Vietoris-Rips. La presentación incluye las herramientas necesarias de homología simplicial y la construcción de los complejos simpliciales requeridos para el uso de este algoritmo. Adicionalmente, se hace una breve introducción a una noción de curvatura discreta que se conoce como la curvatura de Ricci-Forman y que recientemente se ha venido aplicando al estudio de redes complejas. Utilizando los valores de esta curvatura discreta como pesos, se presenta un método para hacer homologia persistente sobre grafos que permite estudiar la estructura topológica de un grafo o una red. Como aplicación de estos métodos, se estudian redes de corrupción política en Brasil y España, y se comparan con un modelo aleatorio propuesto en la literatura para simular este tipo de estructuras. Usando inicialmente técnicas clásicas del análisis de redes, se observa que el modelo reproduce algunas de las propiedades estadísticas más sobresalientes de estas redes. Por último, se usa la homología persistente junto con la curvatura discreta para comparar topológicamente este modelo aleatorio con las redes empíricas en cuestión y se muestra que el modelo no logra capturar completamente la información topológica de estas redes de corrupción. Se concluye el documento con algunas observaciones, incluyendo posibles rutas para continuar el trabajo y mejorar el modelo aleatorio estudiado. |
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Adicionalmente, se hace una breve introducción a una noción de curvatura discreta que se conoce como la curvatura de Ricci-Forman y que recientemente se ha venido aplicando al estudio de redes complejas. Utilizando los valores de esta curvatura discreta como pesos, se presenta un método para hacer homologia persistente sobre grafos que permite estudiar la estructura topológica de un grafo o una red. Como aplicación de estos métodos, se estudian redes de corrupción política en Brasil y España, y se comparan con un modelo aleatorio propuesto en la literatura para simular este tipo de estructuras. Usando inicialmente técnicas clásicas del análisis de redes, se observa que el modelo reproduce algunas de las propiedades estadísticas más sobresalientes de estas redes. Por último, se usa la homología persistente junto con la curvatura discreta para comparar topológicamente este modelo aleatorio con las redes empíricas en cuestión y se muestra que el modelo no logra capturar completamente la información topológica de estas redes de corrupción. Se concluye el documento con algunas observaciones, incluyendo posibles rutas para continuar el trabajo y mejorar el modelo aleatorio estudiado.In this work, the basic theory necessary to apply persistent homology to topological data analysis is exposed, using the Vietoris-Rips algorithm. The presentation includes the necessary tools of simplicial homology and the construction of the simplicial complexes required for the use of this algorithm. Additionally, a brief introduction is made to a notion of discrete curvature known as the Ricci-Forman curvature and which has recently been applied to the study of complex networks. Using the values of this discrete curvature as weights, a method is presented to make persistent homology on graphs that allows studying the topological structure of a graph or a network. As an application of these methods, political corruption networks in Brazil and Spain are studied, and compared with a random model proposed in the literature to simulate this type of structure. Initially using classical network analysis techniques, it is observed that the model reproduces some of the most outstanding statistical properties of these networks. Finally, persistent homology together with discrete curvature is used to topologically compare this random model with the empirical networks in question and it is shown that the model fails to fully capture the topological information of these corruption networks. The document is concluded with some observations, including possible routes to continue the work and improve the random model studied.Magíster en MatemáticasMaestríaPontificia Universidad JaverianaMaestría en MatemáticasFacultad de CienciasVargas Domínguez, AndrésGranados Erazo, Óscar MauricioRodríguez Carreño, Juan SebastiánÁngel Cárdenas, Jairo Andrés2023-04-26T19:03:37Z2023-04-26T19:03:37Z2023-03-09http://purl.org/coar/version/c_ab4af688f83e57aaTesis/Trabajo de grado - Monografía - Maestríahttp://purl.org/coar/resource_type/c_bdccinfo:eu-repo/semantics/masterThesisinfo:eu-repo/semantics/publishedVersionPDFapplication/pdfapplication/pdfapplication/pdfapplication/pdfhttp://hdl.handle.net/10554/64088instname:Pontificia Universidad Javerianareponame:Repositorio Institucional - Pontificia Universidad Javerianarepourl:https://repository.javeriana.edu.cospaBrasilEspaña1987-20141989-2018Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacionalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccessDe acuerdo con la naturaleza del uso concedido, la presente licencia parcial se otorga a título gratuito por el máximo tiempo legal colombiano, con el propósito de que en dicho lapso mi (nuestra) obra sea explotada en las condiciones aquí estipuladas y para los fines indicados, respetando siempre la titularidad de los derechos patrimoniales y morales correspondientes, de acuerdo con los usos honrados, de manera proporcional y justificada a la finalidad perseguida, sin ánimo de lucro ni de comercialización. De manera complementaria, garantizo (garantizamos) en mi (nuestra) calidad de estudiante (s) y por ende autor (es) exclusivo (s), que la Tesis o Trabajo de Grado en cuestión, es producto de mi (nuestra) plena autoría, de mi (nuestro) esfuerzo personal intelectual, como consecuencia de mi (nuestra) creación original particular y, por tanto, soy (somos) el (los) único (s) titular (es) de la misma. Además, aseguro (aseguramos) que no contiene citas, ni transcripciones de otras obras protegidas, por fuera de los límites autorizados por la ley, según los usos honrados, y en proporción a los fines previstos; ni tampoco contempla declaraciones difamatorias contra terceros; respetando el derecho a la imagen, intimidad, buen nombre y demás derechos constitucionales. Adicionalmente, manifiesto (manifestamos) que no se incluyeron expresiones contrarias al orden público ni a las buenas costumbres. En consecuencia, la responsabilidad directa en la elaboración, presentación, investigación y, en general, contenidos de la Tesis o Trabajo de Grado es de mí (nuestro) competencia exclusiva, eximiendo de toda responsabilidad a la Pontifica Universidad Javeriana por tales aspectos. Sin perjuicio de los usos y atribuciones otorgadas en virtud de este documento, continuaré (continuaremos) conservando los correspondientes derechos patrimoniales sin modificación o restricción alguna, puesto que, de acuerdo con la legislación colombiana aplicable, el presente es un acuerdo jurídico que en ningún caso conlleva la enajenación de los derechos patrimoniales derivados del régimen del Derecho de Autor. De conformidad con lo establecido en el artículo 30 de la Ley 23 de 1982 y el artículo 11 de la Decisión Andina 351 de 1993, "Los derechos morales sobre el trabajo son propiedad de los autores", los cuales son irrenunciables, imprescriptibles, inembargables e inalienables. En consecuencia, la Pontificia Universidad Javeriana está en la obligación de RESPETARLOS Y HACERLOS RESPETAR, para lo cual tomará las medidas correspondientes para garantizar su observancia.http://purl.org/coar/access_right/c_abf2reponame:Repositorio Universidad Javerianainstname:Pontificia Universidad Javerianainstacron:Pontificia Universidad Javeriana2023-04-27T08:06:53Z |