Homología persistente y curvatura discreta en el análisis topológico de datos

En este trabajo se expone la teoría básica necesaria para aplicar la homología persistente para el análisis topológico de datos, utilizando el algoritmo de Vietoris-Rips. La presentación incluye las herramientas necesarias de homología simplicial y la construcción de los complejos simpliciales reque...

Full description

Autores:
Tipo de recurso:
masterThesis
Fecha de publicación:
2023
Institución:
Pontificia Universidad Javeriana
Repositorio:
Repositorio Universidad Javeriana
Idioma:
spa
OAI Identifier:
oai:repository.javeriana.edu.co:10554/64088
Acceso en línea:
http://hdl.handle.net/10554/64088
Palabra clave:
Homologia simplicial
Homología persistente
Curvatura discreta
Forman-Ricci
Grafo
Análisis de redes
Topología algebraica
Redes de corrupción
Simplicial homology
Persistent homology
Discrete curvature
Forman-Ricci
Network analysis
Algebraic topology
Corruption networks
Graph
Maestría en matemáticas - Tesis y disertaciones académicas
Teoría homológica
Análisis de redes
Análisis de datos
Rights
openAccess
License
Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional
Description
Summary:En este trabajo se expone la teoría básica necesaria para aplicar la homología persistente para el análisis topológico de datos, utilizando el algoritmo de Vietoris-Rips. La presentación incluye las herramientas necesarias de homología simplicial y la construcción de los complejos simpliciales requeridos para el uso de este algoritmo. Adicionalmente, se hace una breve introducción a una noción de curvatura discreta que se conoce como la curvatura de Ricci-Forman y que recientemente se ha venido aplicando al estudio de redes complejas. Utilizando los valores de esta curvatura discreta como pesos, se presenta un método para hacer homologia persistente sobre grafos que permite estudiar la estructura topológica de un grafo o una red. Como aplicación de estos métodos, se estudian redes de corrupción política en Brasil y España, y se comparan con un modelo aleatorio propuesto en la literatura para simular este tipo de estructuras. Usando inicialmente técnicas clásicas del análisis de redes, se observa que el modelo reproduce algunas de las propiedades estadísticas más sobresalientes de estas redes. Por último, se usa la homología persistente junto con la curvatura discreta para comparar topológicamente este modelo aleatorio con las redes empíricas en cuestión y se muestra que el modelo no logra capturar completamente la información topológica de estas redes de corrupción. Se concluye el documento con algunas observaciones, incluyendo posibles rutas para continuar el trabajo y mejorar el modelo aleatorio estudiado.