Introducción a la Geometría plana y analítica (2018)
Esta breve introducción a la Geometría plana y analítica está destinada a los estudiantes de primer semestre de las carreras de ciencia e ingeniería. La versión preliminar de este libro ha orientado el curso de Geometría de la carrera de Ingeniería Civil y de Matemáticas Aplicadas en la Pontificia Universidad Javeriana Cali. Se asume que el lector cuenta con una breve fundamentación algebraica y trigonométrica; es por esta razón que la mayoría de los ejemplos omiten los desarrollos matemáticos elementales para que estos sean elaborados y revisados. El libro se ha divido en tres capítulos. En el primero se estudian los conceptos fundamentales de la Geometría plana como: puntos, rectas, triángulos, razones y proporciones. Todo se ha desarrollado en el plano cartesiano y se asume un conocimiento preliminar sobre el concepto de pendiente y ecuación de una recta. En el segundo capítulo se introducen algunos conceptos básicos de la aritmética vectorial. Se hace un especial énfasis en vectores del plano, sin que esto disminuya la rigurosidad al momento de probar algunos resultados principales, como la desigualdad de Cauchy-Schwarz, desigualdad triangular, Teorema de Pitágoras y la identidad del paralelogramo. Al final de esta segunda parte se presenta la ecuación vectorial de una recta y las secciones cónicas empleando para ello la definición de excentricidad. En el ´ultimo capítulo se presentan los conceptos de transformaciones en el plano, y de transformaciones lineales, seguido de una ligera presentación de álgebra matricial y formas cuadráticas, buscando llegar rápidamente a una versión, para matrices simétricas 2 × 2, del Teorema espectral. Al final del capítulo se hace una presentación sobre los cambios de coordenadas, que permiten eliminar los términos cruzados de las formas cuadráticas y de esta forma, reescribir la ecuación general de una cónica.