Introducción a las funciones de variable compleja

Además de su enorme belleza intrínseca, el análisis complejo es una de las teorías de mayor trascendencia tanto en las matemáticas puras como aplicadas. El matemático francés Paul Painlevé escribió: “Entre dos verdades del dominio real, el camino más fácil y corto muy a menudo pasa por el dominio complejo”. Por ello, en la formación de matemáticos y de docentes en matemáticas resulta imprescindible un curso básico sobre las funciones de variable compleja, que se conoce de manera simple como Variable Compleja. En la Universidad del Tolima desde hace muchos años se ha forjado una tradición de enfocar este curso en la comprensión geométrica del sistema de los números complejos, antes de pasar al desarrollo del cálculo básico con funciones en este contexto. Este libro “Introducción a las funciones de variable compleja” recoge la experiencia adquirida por sus autores al orientar esa asignatura en muchas ocasiones, tanto en el programa de Matemáticas con énfasis en Estadística como en la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad del Tolima. Su propósito es servir como guía para los estudiantes de ese curso y para cualquier persona interesada en acercarse a esta fascinante rama de la matemática. Para su adecuada comprensión se requieren conocimientos básicos de matemáticas a nivel de cálculo real en una y varias variables. El texto consta de cinco capítulos, cada uno de los cuales está dividido en secciones cortas correspondientes al tema que se puede desarrollar en una clase, al final del capítulo hay una breve selección de ejercicios. El capítulo 1 es una introducción a los números complejos, con énfasis especial en la geometría de este sistema. Además de introducir la notación y las presentaciones usuales de los números complejos, allí se estudian las secciones cónicas en términos de números complejos y se presenta la esfera de Riemann. El capítulo 2 es una revisión de las nociones básicas de topología y análisis especializados al plano complejo, que incluyen la métrica, los conjuntos abiertos y cerrados, los conjuntos compactos y conexos, la convergencia de sucesiones y series. En el capítulo 3 se realiza una presentación detallada de las principales funciones de variable compleja enfatizando, de nuevo, su comportamiento geométrico. Además de la función lineal y cuadrática se estudian las funciones racionales, en especial las transformaciones de Möbius, y las trascendentes, que incluyen la función exponencial, las trigonométricas y el logaritmo complejo. Los capítulos 4 y 5 contienen una introducción básica al cálculo diferencial e integral de funciones de una variable compleja. En el capítulo 4 se presenta la definición de derivada y se estudian sus consecuencias, contenidas en las célebres condiciones de Cauchy-Riemann. Por fin, en el capítulo 5 se define la integral de funciones de variable compleja como una integral de línea, se estudian sus principales propiedades y se construye una demostración del teorema integral de Cauchy y de su consecuencia principal, la fórmula integral. El texto tiene una amplia bibliografía que puede servir de guía para cualquier lector que desee continuar en el maravilloso camino del análisis complejo.

• Autores: Oostra, Arnold; Olivar Robayo, Luis Eduardo
• Tipo de recurso: Book
• Fecha de publicación: 2023
• Institución: Universidad del Tolima
• Repositorio: RIUT: Repositorio U. Tolima
• OAI Identifier: oai:repository.ut.edu.co:001/3656
• Acceso en línea: https://repository.ut.edu.co/handle/001/3656
• Palabra clave: 510 - Matemáticas; Cálculo diferencial; Geometría; Los números complejos; Nociones métricas y topológias; Funciones de variable compleja; Funciones holomorfas; Integración compleja
• Rights: openAccess
• License: http://purl.org/coar/access_right/c_abf2