Árboles de expansión de máximo peso como precondicionadores y su aplicación a matrices de grafos y de elementos finitos
Aparte de la teoría presentada en el documento, se programaron en Python absolutamente todos los métodos para la parte de resultados. La única librería pública que se utilizó fue NumPy para sacar la pseudo inversa de laplacianos, de esta forma se simuló el tiempo "casi linear" de la resolu...
- Autores:
-
Kruger Galindo, Thomas
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2023
- Institución:
- Universidad de los Andes
- Repositorio:
- Séneca: repositorio Uniandes
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- Acceso en línea:
- http://hdl.handle.net/1992/67690
- Palabra clave:
- Árboles de expansión
Precondicionadores de laplacianos
Problema elíptico
Laplacianos
Precondicionamiento con árboles
Elementos finitos
Matemáticas
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Aparte de la teoría presentada en el documento, se programaron en Python absolutamente todos los métodos para la parte de resultados. La única librería pública que se utilizó fue NumPy para sacar la pseudo inversa de laplacianos, de esta forma se simuló el tiempo "casi linear" de la resolución del sistema. |
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Es conocido que a cada grafo se le asocian varios tipos de matrices que conectan de manera estrecha las propiedades geométricas de grafos y las propiedades espectrales de dichas matrices. El laplaciano es una de las matrices más importantes que se asocian a un grafo. Siendo el laplaciano una matriz simétrica semi definida positiva, es natural de pensar en algoritmos como el gradiente conjugado o el gradiente conjugado precondicionado cuando se necesita resolver sistemas lineales cuyas matrices son justamente laplacianos de grafos. En este trabajo se estudian preconcionadores que corresponden a subgrafos, en particular árboles. En este contexto, varios resultados teóricos se exponen para justificar el marco matemático del uso y los beneficios de precondicionamiento con árboles y especialmente el que corresponde a árboles de expansión de máximo peso. Al inicio de este trabajo, presentamos el método de Elementos Finitos para la solución de un problema elíptico clásico y el método del gradiente conjugado (el lector iniciado puede perfectamente saltar esta parte, pues está en casi todas las referencias de Análisis Numérico). Nuestro aporte principal en este trabajo es explotar las similitudes de las matrices de rigidez de elementos finitos con los laplacianos que provienen de grafos y utilizar la teoría espectral de grafos y el precondicionamiento con árboles de expansión de máximo peso para resolver los sistemas lineales que surgen de nuestros problemas elípticos. Los resultados son muy buenos y en ciertas ocasiones son de lejos mejores que en otros precondicionadores clásicos, como el precondicioandor SOR, que es en sí mismo muy eficiente cuando se trata de matrices de rigidez construidas por elementos finitos P1 con discretización regular.MatemáticoPregrado75 páginasapplication/pdfspaUniversidad de los AndesMatemáticasFacultad de CienciasDepartamento de MatemáticasÁrboles de expansión de máximo peso como precondicionadores y su aplicación a matrices de grafos y de elementos finitosTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesisinfo:eu-repo/semantics/acceptedVersionhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fTexthttp://purl.org/redcol/resource_type/TPÁrboles de expansiónPrecondicionadores de laplacianosProblema elípticoLaplacianosPrecondicionamiento con árbolesElementos finitosMatemáticasNoga Alon, Richard M. Karp, David Peleg, and Douglas West. A graphtheoretic game and its application to the k-server problem. SIAM Journal on Computing, 24(1):78-100, 1995. arXiv:https://doi.org/10. 1137/S0097539792224474, doi:10.1137/S0097539792224474.Ittai Abraham and Ofer Neiman. Using petal-decompositions to build a low stretch spanning tree. In Proceedings of the Forty-Fourth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, STOC 12, page 395-406, New York, NY, USA, 2012. Association for Computing Machinery. doi: 10.1145/2213977.2214015.Saul I. Gass and Michael C. Fu, editors. Prim's Algorithm, pa ges 1160-1160. Springer US, Boston, MA, 2013. doi:10.1007/ 978-1-4419-1153-7_200635.K. Gahalaut and S. Tomar. [pdf] condition number study of graph theory based preconditioners for isogeometric discretiza tion of poisson equation: Semantic scholar. [PDF] Condition number study of graph theory based preconditioners for isogeo metric discretization of Poisson equation Semantic Scholar, Jan 2014. 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Approximate calculation of multiple integrals. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971. 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