La categoría derivada de haces coherentes sobre espacios proyectivos

Este proyecto tuvo como objetivo estudiar la categoría derivada de haces coherentes sobre los espacios proyectivos. Propiamente, demostrar un caso especial del teorema de Beilinson, el cual establece que la categoría derivada acotada de haces coherentes sobre $\mathbb{P}^n$ es generada por los haces...

Full description

Autores:
Zúñiga Valencia, Juan Pablo
Tipo de recurso:
Trabajo de grado de pregrado
Fecha de publicación:
2019
Institución:
Universidad de los Andes
Repositorio:
Séneca: repositorio Uniandes
Idioma:
spa
OAI Identifier:
oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/45710
Acceso en línea:
http://hdl.handle.net/1992/45710
Palabra clave:
Espacios proyectivos
Teoría de los haces
Matemáticas
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License
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description Este proyecto tuvo como objetivo estudiar la categoría derivada de haces coherentes sobre los espacios proyectivos. Propiamente, demostrar un caso especial del teorema de Beilinson, el cual establece que la categoría derivada acotada de haces coherentes sobre $\mathbb{P}^n$ es generada por los haces de linea $\mathcal{O}(-n),\dots,\mathcal{O}$. En concreto, dicho caso prueba que todo haz coherente sobre $\mathbb{P}^n$ admite una resolución de longitud finita en sumas directas de haces de linea. La intención de esta tesis es que fuera autocontenida en lo posible, por esa razón, se incluyeron todas las construcciones requeridas para poder entender la categoría derivada de haces coherentes sobre $\mathbb{P}^n$, aunque varias pruebas fueron omitidas para darle continuidad a la exposición. Por ello, se presentaron las construcciones abstractas de categoría derivada y functor derivado, así mismo, se definieron los conceptos de cohomología de haces, haces cuasi-coherentes y coherentes. La prueba del teorema Beilinson no fue realizada con un enfoque completamente algebraico. Para esto se utilizó la noción de haz vectorial holomorfo, haciendo mención del principio GAGA de Serre, el cual le da fundamentación al enfoque analítico. Bajo el mismo principio, se dio una prueba al teorema de Grothendieck de clasificación de haces vectoriales sobre $\mathbb{P}^1$.
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spelling Al consultar y hacer uso de este recurso, está aceptando las condiciones de uso establecidas por los autores.http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2Martínez Esparza, Cristian Mauriciodf08166b-b163-4cd4-87ac-44b156277dd6600Zúñiga Valencia, Juan Pablo2f09885f-14a1-4d75-823e-43e53ca2544b6002020-09-03T16:11:12Z2020-09-03T16:11:12Z2019http://hdl.handle.net/1992/45710u827945.pdfinstname:Universidad de los Andesreponame:Repositorio Institucional Sénecarepourl:https://repositorio.uniandes.edu.co/Este proyecto tuvo como objetivo estudiar la categoría derivada de haces coherentes sobre los espacios proyectivos. Propiamente, demostrar un caso especial del teorema de Beilinson, el cual establece que la categoría derivada acotada de haces coherentes sobre $\mathbb{P}^n$ es generada por los haces de linea $\mathcal{O}(-n),\dots,\mathcal{O}$. En concreto, dicho caso prueba que todo haz coherente sobre $\mathbb{P}^n$ admite una resolución de longitud finita en sumas directas de haces de linea. La intención de esta tesis es que fuera autocontenida en lo posible, por esa razón, se incluyeron todas las construcciones requeridas para poder entender la categoría derivada de haces coherentes sobre $\mathbb{P}^n$, aunque varias pruebas fueron omitidas para darle continuidad a la exposición. Por ello, se presentaron las construcciones abstractas de categoría derivada y functor derivado, así mismo, se definieron los conceptos de cohomología de haces, haces cuasi-coherentes y coherentes. La prueba del teorema Beilinson no fue realizada con un enfoque completamente algebraico. Para esto se utilizó la noción de haz vectorial holomorfo, haciendo mención del principio GAGA de Serre, el cual le da fundamentación al enfoque analítico. Bajo el mismo principio, se dio una prueba al teorema de Grothendieck de clasificación de haces vectoriales sobre $\mathbb{P}^1$.This project had as main goal the study of the derived category of coherent sheaves over projective spaces. In particular, proving a special case of Beilinsonþs theorem, which states that the bounded category of coherent sheaves over $\mathbb{P}^n$ is generated by the line bundles $\mathcal{O}(-n),\dots, \mathcal{O}$. Concretely, in that case was shown that any coherent sheaf over $\mathbb{P}^n$ admits a finite length resolution on direct sums of line bundles. The intention of this thesis was that it were self-contained as possible, for that reason, all required constructions for understanding the derived category of coherent sheaves were included. Although, some proofs were omitted in order to keep documentþs continuity. Due to the above, the abstract constructions of derived category and derived functors were presented, the concepts of sheaf cohomology and coherent sheaf were defined likewise. The proof of Beilinsonþs theorem wasnþt carried out under a complete algebraic scheme. For this, the notions of holomorphic vector bundle were used, relying on Serreþs GAGA principle which states the fundamentals of the analytic approach. Under the same principle, a proof of a theorem of Grothendieck about the classification of vector bundles over $\mathbb{P}^1$ was given.MatemáticoPregrado48 hojasapplication/pdfspaUniversidad de los AndesMatemáticasFacultad de CienciasDepartamento de Matemáticasinstname:Universidad de los Andesreponame:Repositorio Institucional SénecaLa categoría derivada de haces coherentes sobre espacios proyectivosTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fhttp://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85Texthttp://purl.org/redcol/resource_type/TPEspacios proyectivosTeoría de los hacesMatemáticasPublicationTHUMBNAILu827945.pdf.jpgu827945.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg6126https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/557ca68b-1036-46ce-a5db-5f56934b67ca/downloadcf5512a00b1b9d9b46e69ae5571405caMD55TEXTu827945.pdf.txtu827945.pdf.txtExtracted texttext/plain109516https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/35ef624b-6efd-4b5d-a25e-9f0009a3ff9f/download6fb97fd28d6b4990b316b07ca61dce62MD54ORIGINALu827945.pdfapplication/pdf467597https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/17e64de2-64d9-4534-88ff-524d9f785e69/download6ebe514fb92272e545e3485d7f21c5d8MD511992/45710oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/457102023-10-10 19:26:11.529http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/open.accesshttps://repositorio.uniandes.edu.coRepositorio institucional Sénecaadminrepositorio@uniandes.edu.co