Clasificación de grupos abelianos pseudofinitos
Uno de los resultados más importantes que se ven en el curso de Álgebra Abstracta es la clasificación de grupos abelianos finitos: se sabe que todo grupo abeliano finito es isomorfo a la suma directa de grupos cíclicos finitos. Durante la primera mitad del siglo XX se generalizó este resultado a gru...
- Autores:
-
Córdoba Caycedo, Carlos Miguel
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2021
- Institución:
- Universidad de los Andes
- Repositorio:
- Séneca: repositorio Uniandes
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/53298
- Acceso en línea:
- http://hdl.handle.net/1992/53298
- Palabra clave:
- Algebra abstracta
Grupos abelianos
Matemáticas
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- openAccess
- License
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Uno de los resultados más importantes que se ven en el curso de Álgebra Abstracta es la clasificación de grupos abelianos finitos: se sabe que todo grupo abeliano finito es isomorfo a la suma directa de grupos cíclicos finitos. Durante la primera mitad del siglo XX se generalizó este resultado a grupos abelianos infinitos, pero aparecen varios ejemplos de naturaleza infinita como el grupo de los racionales, el p-grupo de Prüfer y el grupo aditivo de la localización del anillo de enteros con respecto al ideal primo p los cuales no son sumas directas de grupos cíclicos. Desde el punto de vista modelo-teórico, los resultados de Wanda Szmielew (recuperados en una presentación ligeramente diferente por P. Eklof y Edward Fischer en 1972) muestran que todo grupo abeliano es elementalmente equivalente a un grupo de Szmielew. La idea fundamental que nos lleva a esta clasificación es el estudio de los invariantes de Szmielew, los cuales son invariantes numéricos que caracterizan el tamaño de los cocientes de submódulos de un grupo abeliano G definidos por ciertas sentencias primitivas positivas. Szmielew demostró que dos grupos abelianos son elementalmente equivalentes si y sólo si tenían los mismos invariantes de Szmielew para todo primo p y natural n. En este trabajo se analizan los resultados mencionados anteriormente, y se da una clasificación de cuáles de estos grupos son pseudofinitos (es decir, elementalmente equivalentes a ultraproductos de grupos abelianos finitos). Basados en este resultado se obtuvo una clasificación de cuáles grupos abelianos son pseudofinitos y omega-estables. |
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Al consultar y hacer uso de este recurso, está aceptando las condiciones de uso establecidas por los autores.http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2García Rico, Darío Alejandro9fd16ca7-0b84-4122-87e1-3571868051d9600Goodrick, John Richard8eeb34f3-47ac-4e7a-9542-99e79bef6ed3600Córdoba Caycedo, Carlos Miguel80124aec-a30a-4ea0-b1f4-42276a075ce4600Caicedo Ferrer, Xavier2021-11-03T16:17:20Z2021-11-03T16:17:20Z2021http://hdl.handle.net/1992/5329824244.pdfinstname:Universidad de los Andesreponame:Repositorio Institucional Sénecarepourl:https://repositorio.uniandes.edu.co/Uno de los resultados más importantes que se ven en el curso de Álgebra Abstracta es la clasificación de grupos abelianos finitos: se sabe que todo grupo abeliano finito es isomorfo a la suma directa de grupos cíclicos finitos. Durante la primera mitad del siglo XX se generalizó este resultado a grupos abelianos infinitos, pero aparecen varios ejemplos de naturaleza infinita como el grupo de los racionales, el p-grupo de Prüfer y el grupo aditivo de la localización del anillo de enteros con respecto al ideal primo p los cuales no son sumas directas de grupos cíclicos. Desde el punto de vista modelo-teórico, los resultados de Wanda Szmielew (recuperados en una presentación ligeramente diferente por P. Eklof y Edward Fischer en 1972) muestran que todo grupo abeliano es elementalmente equivalente a un grupo de Szmielew. La idea fundamental que nos lleva a esta clasificación es el estudio de los invariantes de Szmielew, los cuales son invariantes numéricos que caracterizan el tamaño de los cocientes de submódulos de un grupo abeliano G definidos por ciertas sentencias primitivas positivas. Szmielew demostró que dos grupos abelianos son elementalmente equivalentes si y sólo si tenían los mismos invariantes de Szmielew para todo primo p y natural n. En este trabajo se analizan los resultados mencionados anteriormente, y se da una clasificación de cuáles de estos grupos son pseudofinitos (es decir, elementalmente equivalentes a ultraproductos de grupos abelianos finitos). Basados en este resultado se obtuvo una clasificación de cuáles grupos abelianos son pseudofinitos y omega-estables.One of the most important results seen in the Abstract Algebra course is the classification of finite abelian groups: every finite abelian group is known to be isomorphic to the direct sum of finite cyclic groups. During the first half of the 20th century, this result was generalized to infinite abelian groups, but several examples of an infinite nature appeared, such as the group of rationals, Prüfer's p-group and the additive group of the location of the ring of integers with respect to the prime ideal p which are not direct sums of cyclic groups. From a model-theoretical point of view, Wanda Szmielew's results (recovered in a slightly different presentation by P. Eklof and Edward Fischer in 1972) show that every abelian group is elementary equivalent to a Szmielew group. The fundamental idea that leads us to this classification is the study of Szmielew invariants, which are numerical invariants that characterize the size of the quotients of submodules of an abelian group G defined by certain positive primitive sentences. Szmielew showed that two abelian groups are elementary equivalent if and only if they have the same Szmielew invariants. In this thesis, the results mentioned above are analyzed, and a classification is given of which of these groups are pseudofinite (that is, elementary equivalent to ultraproducts of finite abelian groups). Based on this result, a classification of which abelian groups are pseudofinite and omega-stable was obtained.MatemáticoPregrado54 páginasapplication/pdfspaUniversidad de los AndesMatemáticasFacultad de CienciasDepartamento de MatemáticasClasificación de grupos abelianos pseudofinitosTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fhttp://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85Texthttp://purl.org/redcol/resource_type/TPAlgebra abstractaGrupos abelianosMatemáticas201712674PublicationORIGINAL24244.pdfapplication/pdf539491https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/95e64ea3-a801-4478-be12-828589cda386/download7e95c11c87f178d1ac9134446058882aMD51THUMBNAIL24244.pdf.jpg24244.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg7559https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/5cae4216-4cce-40a8-800c-0759f828f350/download69948c12021002f60a13f73a89ea4960MD55TEXT24244.pdf.txt24244.pdf.txtExtracted texttext/plain90116https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/72deabbd-75c0-4e47-ad55-de0e9ccddad4/downloada71df3200877741172d57bbbbef22961MD541992/53298oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/532982023-10-10 18:49:33.264http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/open.accesshttps://repositorio.uniandes.edu.coRepositorio institucional Sénecaadminrepositorio@uniandes.edu.co |