Ultraproductos de espacios secuenciales de Nakano (2021)
En este trabajo se presenta primero la teoría general de retículos de Banach y de espacios de Hilbert necesaria para entender los espacios secuenciales de Nakano, que es el tema de estudio de este documento. En particular, se define y se presentan las principales propiedades de la constante de Jordan-von-Neumann, la caracterización de los espacios de Hilbert mediante esta, sus valores para cualquier espacio lp y una estimación de su valor para algunos espacios de Nakano. También se encuentra la caracterización del dual topológico de un espacio secuencial de Nakano, a partir de una relación puntual que se puede establecer entre las sucesiones asociadas a un espacio secuencial de Nakano y su espacio dual. Más aún, se enuncian las condiciones necesarias para definir un módulo convexo sobre una ultrapotencia arbitraria de un espacio secuencial de Nakano y se define este módulo de forma explícita. Además, se expone una caracterización de la clase elemental de un espacio secuencial de Nakano con sucesión asociada convergente a dos (espacio asintóticamente Hilbertiano). Adicionalmente, para un subconjunto particular de estos espacios se define explícitamente un módulo convexo sobre su ultrapotencia. Finalmente, se enuncia una condición necesaria y suficiente para que los espacios secuenciales de Nakano no solamente sean asintóticamente Hilbertianos, sino que tengan un equivalente Hilbertiano, esto es, que exista un espacio de Hilbert isomorfo al espacio secuencial de Nakano, en el sentido de los retículos vectoriales.