Generalizaciones del principio Mín-Máx (2017)
En general, no es una tarea fácil calcular los autovalores de un operador lineal de forma directa. Sin embargo, si el operador en cuestión es semiacotado, como por ejemplo el operador de Schrödinger, el principio Mín-Máx o principio variacional clásico es una herramienta muy versátil que puede ser aplicado para obtener información acerca de la existencia de autovalores así como estimativos de los mismos. Si bien este teorema provee una caracterización sencilla de los autovalores de un operador A, es importante resaltar que dicho principio solo da información sobre los autovalores por debajo del espectro esencial. En particular, este teorema no puede ser utilizado para estudiar los autovalores en brechas del espectro esencial. Esta situación es típica para operadores de derivación que no son semiacotados por abajo, particularmente en el caso de operadores de Dirac. Dado lo anterior, es deseable tener una caracterización similar a la del principio variacional clásico para poder calcular o estimar, bajo ciertas hipótesis, los autovalores de dichos operadores en brechas de su espectro esencial. Una caracterización así ya fue desarrollada por Griesemer, Lewis y Siedentop, más aún, los resultados hallados por estos autores aplican justamente para operadores no semiacotados que tengan brechas (gaps) en su espectro esencial. De ahí que el objetivo principal de este trabajo sea estudiar detallamente los artículos de estos autores, concretamente, se estudiarán sus resultados acerca del operador de Dirac. Este operador es de gran interés dado que aparece recurrentemente en Mecánica Cuántica y Física de Partículas.