Versión paramétrica del fenómeno de cutoff para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck bajo la distancia de Wasserstein

Este trabajo toma como caso de estudio a la solución de la ecuación diferencial lineal estocástica $dX_t^\epsilon(x)=-\mathcal{Q}X_t^\epsilon dt + \epsilon dB(t), \; X_0^\epsilon = x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, conocida como el proceso Ornstein-Uhlenbeck con ruido Browniano $d-$dimensional, y bu...

Full description

Autores:: Estrada Plata, Luisa Fernanda

Tipo de recurso:: Trabajo de grado de pregrado

Fecha de publicación:: 2021

Institución:: Universidad de los Andes

Repositorio:: Séneca: repositorio Uniandes

Idioma:: spa

Description
Summary:	Este trabajo toma como caso de estudio a la solución de la ecuación diferencial lineal estocástica $dX_t^\epsilon(x)=-\mathcal{Q}X_t^\epsilon dt + \epsilon dB(t), \; X_0^\epsilon = x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, conocida como el proceso Ornstein-Uhlenbeck con ruido Browniano $d-$dimensional, y busca determinar de manera paramétrica las condiciones bajo las cuales se tiene un perfil de termalización (o \emph{cutoff}) en la distancia de Wasserstein-2. Para esto, se aplica la fórmula de variación de parámetros para ecuaciones diferenciales estocásticas para determinar la solución de $X_t^{\epsilon}(x)$. Más aún, se estudian las condiciones de ortogonalidad necesarias y suficientes de una sub-colección de vectores propios generalizados de $\mathcal{Q}$ y su dependencia del valor inicial $x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$, para determinar la existencia y forma de un perfil de termalización entre las distribuciones de $X_t^\epsilon(x)$ y su medida invariante $\mu^\epsilon$. En particular, se considera el caso de estudio donde $\Q$ es una matriz $d\times d$ simétrica, para el cual se puede establecer explícitamente las distribuciones del proceso como $$X_t^{\epsilon}(x)\sim \normal{e^{-\Q t}x}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}(\Id{d}-e^{-2\Q t})} \hspace{0.5cm}\text{ y } \hspace{0.5cm} \mu^{\epsilon}\sim \normal{0}{\frac{\epsilon^2 \Q^{-1}}{2}}.$$ Finalmente, dado que los parámetros de ambas distribuciones corresponden a sus primeros y segundos momentos, se observa que basta verificar la convergencia de los parámetros para determinar la convergencia en Wasserstein$-2$, establecer la forma del perfil y verificar las cotas teóricas para la distancia entre ambas distribuciones. Lo cual, al aplicar los resultados de (Barrera y Jara, 2020), se reduce a un análisis de ciertos valores y vectores propios de $\Q$.

Versión paramétrica del fenómeno de cutoff para el proceso de Ornstein-Uhlenbeck bajo la distancia de Wasserstein

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