Características geométricas y topológicas de la familia de Lemniscatas (2024)
La Lemniscata de Bernoulli abrió las puertas al desarrollo de la teoría de funciones elípticas por propiedades geométricas elementales intrínsecas a la curva. Esta curva se puede generalizar del siguiente modo: Ln = |(z − z_1)(z − z_2)...(z − z_n)| = r^n, r \in R, z_i \in C. En este trabajo hemos estudiado la curva Ln, en primer lugar, en el ambiente R^2. Se expone una descripción analítica de la singularidad y sus tangentes; hemos encontrado los puntos de máxima curvatura y relaciones de la curva con modelos no singulares de Ln por medio de la función de Schwarz y los mapas de Joukowski generalizados. En segundo lugar, hemos realizado un análisis de Ln en CP^2 con el propósito de completar el estudio de sus singularidades y curvas asociadas. Calculamos invariantes topológicos, como el género, e invariantes geométricos, como el grupo de simetría de Ln (para algunos n). Por último, se establece una relación entre los puntos algebraicamente característicos (e.g., puntos focales y puntos de inflexión) y puntos geométricamente relevantes (e.g., puntos críticos de curvatura gaussiana y vértices de triangulación) de la curva.