Características geométricas y topológicas de la familia de Lemniscatas
La Lemniscata de Bernoulli abrió las puertas al desarrollo de la teoría de funciones elípticas por propiedades geométricas elementales intrínsecas a la curva. Esta curva se puede generalizar del siguiente modo: Ln = |(z − z_1)(z − z_2)...(z − z_n)| = r^n, r \in R, z_i \in C. En este trabajo hemos es...
- Autores:
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Cifuentes Monroy, Rivaldo
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2024
- Institución:
- Universidad de los Andes
- Repositorio:
- Séneca: repositorio Uniandes
- Idioma:
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- OAI Identifier:
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- Acceso en línea:
- https://hdl.handle.net/1992/75021
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- Lemniscata
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La Lemniscata de Bernoulli abrió las puertas al desarrollo de la teoría de funciones elípticas por propiedades geométricas elementales intrínsecas a la curva. Esta curva se puede generalizar del siguiente modo: Ln = |(z − z_1)(z − z_2)...(z − z_n)| = r^n, r \in R, z_i \in C. En este trabajo hemos estudiado la curva Ln, en primer lugar, en el ambiente R^2. Se expone una descripción analítica de la singularidad y sus tangentes; hemos encontrado los puntos de máxima curvatura y relaciones de la curva con modelos no singulares de Ln por medio de la función de Schwarz y los mapas de Joukowski generalizados. En segundo lugar, hemos realizado un análisis de Ln en CP^2 con el propósito de completar el estudio de sus singularidades y curvas asociadas. Calculamos invariantes topológicos, como el género, e invariantes geométricos, como el grupo de simetría de Ln (para algunos n). Por último, se establece una relación entre los puntos algebraicamente característicos (e.g., puntos focales y puntos de inflexión) y puntos geométricamente relevantes (e.g., puntos críticos de curvatura gaussiana y vértices de triangulación) de la curva. |
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Schicho, The Resolution of Singular Algebraic Varieties (Clay Mathematics Proceedings). American Mathematical Society, 2014, isbn: 9780821889824. dirección: https://books.google.com.co/books?id=qjDiBQAAQBAJ. G. Fischer, Plane Algebraic Curves (American Indian Studies). American Mathematical Society, 2001, isbn: 9780821821220. dirección: https://books.google.com.co/books?id=W4fxBwAAQBAJ. W. Fulton, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry (Advanced book classics). Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, 1989, isbn: 9780201510102. dirección: https://books.google.om.co/books?id=SEbvAAAAMAAJ R. Goldman, «Curvature formulas for implicit curves and surfaces,» Computer Aided Geometric Design, vol. 22, págs. 632-658, oct. de 2005. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005. P. Griffiths y J. Harris, Principles of Algebraic Geometry (Wiley Classics Library). Wiley, 2014, isbn: 9781118626320. dirección: https://books.google.com.co/books?id=-01YBAAAQBAJ J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course (Graduate Texts in Mathematics). Springer, 1992, isbn: 9780387977164. dirección: https://books.google.com.co/books?id=_XxZdhbtf1sC H. Hironaka, «Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero,» eng, Mathematische Annalen, vol. 79, págs. 109-326,1964. dirección: http://eudml.org/doc/157624 C. Hui, Plane Quartic-curves. Thesis Ph.D., Liverpool University., 1979. dirección: https://books.google.com.co/books?id=fB1HzAEACAAJ. A. Hurwitz, «Ueber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich,» ger, Mathematische Annalen, vol. 41, págs. 403-442, 1893. dirección: http://eudml.org/doc/157624. G. Jones y D. Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint. Cambridge University Press, 1987, isbn: 9780521313667. dirección: https://books.google.com.co/books?id=_U3RXDy7UQcC. F. Kirwan, Complex Algebraic Curves (London Mathematical Society Student Texts). 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Wang, «Curvatures at the singular points of algebraic curves and surfaces,» mayo de 2014. O. Loos, Symmetric Spaces: General theory (Mathematics lecture note series). W. A. Benjamin, 1969, isbn: 9780805366211. dirección: https://books.google.com.co/books?id=TtKU68ZB5GoC. A. M. Macbeath, «On a Theorem of Hurwitz,» Glasgow Mathematical Journal, vol. 5, n.o 2, págs. 90-96, 1961. doi: 10.1017/S2040618500034365 C. Maclachlan, «A Bound for the Number of Automorphisms of a Compact Riemann Surface,» Journal of the London Mathematical Society, vol. s1-44,n.o 1, págs. 265-272, 1969. doi: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-44.1.265. eprint: https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1112/jlms/s1-44.1.265. dirección: https://londmathsoc.doi/pdf/10.1112/jlms/s1-44.1.265. dirección: https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s1-44.1.265. J. Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces (Annals of mathematics studies). Princeton University Press, 1968, isbn: 9780691080659. dirección:https://books.google.com.co/books?id=cuAAFbBYlSsC. R. Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces (Dimacs Series in Discrete Mathematics and Theoretical Comput). American Mathematical Society, 1995, isbn: 9780821802687. dirección: https://books.google.com.co/books?id=aN4bfzgHvvkC. J. Munkres, Elements Of Algebraic Topology. CRC Press, 2018, isbn: 9780429962462.dirección: https://books.google.com.co/books?id=-mdQDwAAQBAJ. T. Needham, Visual Complex Analysis. Clarendon Press, 1997, isbn: 9780198534464. dirección: https://books.google.com.co/books?id=ogz5FjmiqlQC. L. Ness, «Curvature on algebraic plane curves. I,» eng, Compositio Mathematica, vol. 35, n.o 1, págs. 57-63, 1977. dirección: http://eudml.org/doc/89335. M. B. Ortiz, M. Díaz y M. R. Rojas, «The group of automorphism of the Fermat curve,» Español, Revista Integración, 2016, issn: 0120-419X. dirección:https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=327048838002. F. 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