Una construcción alternativa de la tabla periódica de materiales topológicos
¿Qué tipo de invariantes topológicos hay en la materia y, teóricamente, qué los diferencia? Altland y Zirnbauer se acercaron a este problema analizando sistemas de matrices aleatorias y aplicando la clasificación de Cartan de espacios simétricos, desarrollada en 1926, a lo que sería conocido como el...
- Autores:
-
Recio Hernández, Isabela
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2022
- Institución:
- Universidad de los Andes
- Repositorio:
- Séneca: repositorio Uniandes
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/55606
- Acceso en línea:
- http://hdl.handle.net/1992/55606
- Palabra clave:
- Aislantes topológicos
Análisis espinorial
Algebras de Clifford
Física
- Rights
- openAccess
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- http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
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¿Qué tipo de invariantes topológicos hay en la materia y, teóricamente, qué los diferencia? Altland y Zirnbauer se acercaron a este problema analizando sistemas de matrices aleatorias y aplicando la clasificación de Cartan de espacios simétricos, desarrollada en 1926, a lo que sería conocido como el ten-fold way; una forma de etiquetar y clasificar los diez tipos de invariantes topológicos en materiales cuánticos. Estas diez clases de simetría clasifican los Hamiltonianos de Bogoliubov-de Gennes de acuerdo a la presencia o ausencia de simetrías de inversión temporal, partícula-hueco y de quiralidad. Sin embargo, en este trabajo se busca entender una construcción paralela de la tabla periódica de materiales topológicos, propuesta por Abramovici y Kalugin en el 2011. Esta estrategia usa fuertemente la idea de representaciones reales del espacio de Nambu y su descomposición en componentes isotípicas. A continuación, se comparan y contrastan las dos construcciones, haciendo énfasis en los diferentes criterios de construcción y en el problema de extensiones de álgebras de Clifford resultante. En particular, se pueden observar correspondencias entre el espacio de operadores de entrelazamiento, $F_0$, y la simetría partícula-hueco y entre el mapa $\phi_\lambda$ y la simetría de inversión temporal. Además, aunque las extensiones de Clifford obtenidas por ambas estrategias no son iguales, si se clasifica el problema desde la perspectiva de algebras simples, se concluye que la construcción de Abramovici-Kalugin es equivalente a la de Altland-Zirnbauer. |
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Estas diez clases de simetría clasifican los Hamiltonianos de Bogoliubov-de Gennes de acuerdo a la presencia o ausencia de simetrías de inversión temporal, partícula-hueco y de quiralidad. Sin embargo, en este trabajo se busca entender una construcción paralela de la tabla periódica de materiales topológicos, propuesta por Abramovici y Kalugin en el 2011. Esta estrategia usa fuertemente la idea de representaciones reales del espacio de Nambu y su descomposición en componentes isotípicas. A continuación, se comparan y contrastan las dos construcciones, haciendo énfasis en los diferentes criterios de construcción y en el problema de extensiones de álgebras de Clifford resultante. En particular, se pueden observar correspondencias entre el espacio de operadores de entrelazamiento, $F_0$, y la simetría partícula-hueco y entre el mapa $\phi_\lambda$ y la simetría de inversión temporal. Además, aunque las extensiones de Clifford obtenidas por ambas estrategias no son iguales, si se clasifica el problema desde la perspectiva de algebras simples, se concluye que la construcción de Abramovici-Kalugin es equivalente a la de Altland-Zirnbauer.What are the possible topological invariants found in quantum materials, and, theoretically, how could one classify them? Altland and Zirnbauer approached this question by studying systems of random matrices and connecting them to Cartan¿s 1926 classification of symmetric spaces. This classification is known as the ten-fold way, and it provides a guideline to label and classify the ten possible topological invariants found in quantum materials. These ten classes are subject to the analysis of a Bogoliubov-de Gennes hamiltonian, restricted by the action of time-reversal, particle-hole and chiral symmetries. However, in this work, we attempt to understand an alternative construction of this periodic table, developed in Abramovici and Kalugin¿s work of 2011. This strategy involves the isotypic decomposition of the Nambu space, where real representations of the symmetry group are used, instead of the usual complex ones. In the following text, we compare and contrast the two constructions, emphasizing on the different criteria of classification and the resulting problem of Clifford extensions. In particular, we highlight the correspondence between the space of intertwining operators $F_0$ and particle-hole symmetry, and between the map $\pho_\lambda$ and time-reversal symmetry. More importantly, even though the resulting Clifford extensions are not the same for both constructions, when analyzing the problem from the perspective of simple algebras, we conclude that both Abramovici-Kalugin¿s and Altland-Zirnbauer¿s are equivalent.FísicoPregrado22 páginasapplication/pdfspaUniversidad de los AndesFísicaFacultad de CienciasDepartamento de FísicaUna construcción alternativa de la tabla periódica de materiales topológicosTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesisinfo:eu-repo/semantics/acceptedVersionhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fTexthttp://purl.org/redcol/resource_type/TPAislantes topológicosAnálisis espinorialAlgebras de CliffordFísica201730260Publicationhttps://scholar.google.es/citations?user=04V0g64AAAAJvirtual::6056-1https://scienti.minciencias.gov.co/cvlac/visualizador/generarCurriculoCv.do?cod_rh=0000055174virtual::6056-19cfe3fb3-ca67-4abc-bf3f-6ceb7f9f4adfvirtual::6056-19cfe3fb3-ca67-4abc-bf3f-6ceb7f9f4adfvirtual::6056-1TEXT26308.pdf.txt26308.pdf.txtExtracted texttext/plain46517https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/9d005e85-4e82-435a-ac67-df09c6d17dbe/download49da963aa5766f819f0fba8394447e51MD52ORIGINAL26308.pdfapplication/pdf293276https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/f4c60c50-312b-4c37-9b38-d8a4cdc42e2e/downloadb98dd41a74d0f0b0136312d5ec1f073aMD51THUMBNAIL26308.pdf.jpg26308.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg3461https://repositorio.uniandes.edu.co/bitstreams/e235284b-3e5c-48ab-9683-6d5171c0718b/downloadc5c334e3f6f5d73bbbd8eb5a68fb6096MD531992/55606oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/556062024-03-13 13:05:28.688http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/open.accesshttps://repositorio.uniandes.edu.coRepositorio institucional Sénecaadminrepositorio@uniandes.edu.co |