Aplicación de politopos Inside Out a extensiones de reglas de Golomb (2021)
Los politopos Inside Out son estructuras compuestas de un politopo racional y un arreglo de hiperplanos sobre las cuales Beck y Zaslavsky presentan extensiones interesantes de la teoría de Ehrhart. Estas extensiones nos permiten obtener resultados en problemas de conteo asociando un politopo Inside Out a su solución. En general, se aplican a problemas en los cuales se busca contar elementos que pueden asociarse con puntos de coordenadas enteras dentro de un politopo racional y tal que sus coordenadas no cumplen con ciertas ecuaciones lineales particulares. En el artículo "Enumeration of Golomb Rulers and Acyclic Orientations of Mixed Graphs" de Beck, Bogart y Pham (2011), se presenta una aplicación de esta teoría al problema de contar reglas de Golomb, secuencias de enteros no negativos diferentes tal que cada diferencia entre cada par de elementos es diferente. En el artículo, realizan la construcción de un politopo racional y un arreglo de hiperplanos tal que todo punto entero en el interior del politopo y fuera del arreglo corresponde a una regla de Golomb. A partir de esto, concluyen que la función que cuenta las reglas de Golomb en función de su longitud es un cuasipolinomio y presentan una interpretación para la reciprocidad de Ehrhart y las regiones del politopo Inside Out. El objetivo de este proyecto es extender los resultados de Beck, Bogart y Pham a generalizaciones de conjuntos de Sidon, inspirado en el hecho que las reglas de Golomb resultan ser equivalentes a los conjuntos de Sidon en su definición original. Se toman tres extensiones naturales y, para cada una, se presentan los politopos Inside-Out asociados y los resultados consecuentes. Además, se presentan los avances sobre la extensión de la interpretación de las regiones del politopo Inside-Out.