Elementos de la teoría de singularidades de curvas

Las curvas parametrizadas surgen de manera natural en varios contextos de la matemática y la física, como en la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. En este texto exponemos algunas herramientas analíticas para entender localmente la geometría de una curva parametrizada. La introducción del texto muestra un ejemplo de una máquina de una catástrofe, una situación acerca de un móvil en física, para motivar el estudio de la teoría que expondremos. En él, surgen de manera natural las curvas parametrizadas, singularidades de funciones suaves y deformaciones de funciones suaves; conceptos centrales que estudiaremos. En la sección 1, Curvas y curvatura, enunciamos la definición de curva parametrizada como clase de equivalencia, hacemos un breve repaso sobre orientación de espacios vectoriales y definimos la curvatura de una curva parametrizada. En seguida, mostramos que la curvatura de curvas parametrizadas regulares planas es invariante bajo isometrías del plano y mostramos la construcción de las fórmulas de Serret-Frenet para curvas planas y para curvas en el espacio. Nos adentramos en estudios geométricos de las curvas parametrizadas regulares en la sección 2, Contacto de curvas. En primer lugar, mostramos un ejemplo introductorio que motiva a estudiar el concepto de k-punto contacto de una curva parametrizada con el círculo y la recta. Este lo definimos a continuación y vemos algunas herramientas para calcular el nivel de contacto. Por último, definimos los conceptos de vértice e inflexión de una curva y mostramos cómo el estudio de la curvatura o el estudio de las singularidades de la evoluta y el pedal son suficientes para identificar estos puntos. En la sección 3, Deformaciones de funciones suaves, definimos el concepto de singularidad de una función suave y de equivalencia por derecha. Exploramos también deformaciones de funciones suaves, mostramos dos criterios para saber cuándo una deformación es p-versal para una función y mostramos dos teoremas sobre la relación entre el conjunto de singularidades y el conjunto de bifurcación entre dos deformaciones p-versales. Para cerrar, vemos aplicaciones de esta teoría al estudio local de la evoluta de una curva parametrizada regular plana y al estudio local de la familia normal al centro de curvatura de una curva parametrizada regular en el espacio. Para concluir, al final del texto se encuentran dos apéndices con código escrito para el programa SageMath (https://www.sagemath.org/). El primero, el Apéndice A, contiene un código para calcular la función de curvatura, la evoluta y el pedal de una curva parametrizada regular plana. El segundo, el Apéndice B, contiene un código para calcular las raíces de una función diferenciable con el método de Newton.

• Autores: Gutiérrez Rodríguez, Camilo
• Tipo de recurso: Trabajo de grado de pregrado
• Fecha de publicación: 2023
• Institución: Universidad de los Andes
• Repositorio: Séneca: repositorio Uniandes
• Idioma: spa
• OAI Identifier: oai:repositorio.uniandes.edu.co:1992/68796
• Acceso en línea: http://hdl.handle.net/1992/68796
• Palabra clave: Curvas parametrizadas; Singularidades; Funciones suaves; Deformaciones de funciones suaves; k-punto contacto; Matemáticas
• Rights: openAccess
• License: Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 Internacional