Descripción de modelos caóticos en teoría ergódica

Un sistema dinámico es aquel cuyo estado evoluciona con el paso del tiempo. El caos, es el comportamiento aparentemente aleatorio o impredecible en sistemas que se rigen mediante leyes deterministas. Y la teoría ergódica es la rama de las matemáticas que estudia el comportamiento a largo plazo de lo...

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Autores:: Arias Alvarez, Daniel Alejandro

Tipo de recurso:: https://purl.org/coar/resource_type/c_7a1f

Fecha de publicación:: 2024

Institución:: Universidad El Bosque

Repositorio:: Repositorio U. El Bosque

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description	Un sistema dinámico es aquel cuyo estado evoluciona con el paso del tiempo. El caos, es el comportamiento aparentemente aleatorio o impredecible en sistemas que se rigen mediante leyes deterministas. Y la teoría ergódica es la rama de las matemáticas que estudia el comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos. El presente trabajo desarrolla una construcción teórica para proponer estrategias de análisis en los sistemas dinámicos discretos caóticos por medio de teoría ergódica. Inicialmente, se presentan conceptos preliminares de análisis, teoría de grupos, topología y sistemas dinámicos, necesarios para el posterior estudio del caos. Luego, se exponen formalmente los conceptos de funciones caóticas, fracciones continuas y números mal aproximados para realizar una construcción en conjunto con los sistemas dinámicos y así, establecer una relación intrínseca de los dos campos tratados en el trabajo. Esta relación se consiguió mediante el mapeo de Gauss, una función de recurrencia no lineal generada a partir de fracciones continuas.
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Inicialmente, se presentan conceptos preliminares de análisis, teoría de grupos, topología y sistemas dinámicos, necesarios para el posterior estudio del caos. Luego, se exponen formalmente los conceptos de funciones caóticas, fracciones continuas y números mal aproximados para realizar una construcción en conjunto con los sistemas dinámicos y así, establecer una relación intrínseca de los dos campos tratados en el trabajo. Esta relación se consiguió mediante el mapeo de Gauss, una función de recurrencia no lineal generada a partir de fracciones continuas.MatemáticoPregradoA dynamic system is one whose state evolves through time. Chaos is the random or unpredictable behavior in systems governed by deterministic laws. And ergodic theory is the branch of mathematics that studies the long-term behavior of dynamic systems. Using ergodic theory, the present work develops a theoretical construction to propose analysis strategies in chaotic, discrete dynamical systems. Our journey begins with the introduction of preliminary concepts of analysis, group theory, topology, and dynamical systems. These are the building blocks necessary for the subsequent study of chaos. We then move on to formally present the concepts of chaotic functions, continued fractions, and badly approximable numbers. This progression allows us to construct a relationship between dynamical systems and chaos, establishing an intrinsic relation between the two fields treated in the work. This relationship was achieved using the Gaussian mapping, a nonlinear recurrence function generated from continued fractions.application/pdfAttribution-NonCommercial 4.0 Internationalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/Acceso abiertohttps://purl.org/coar/access_right/c_abf2http://purl.org/coar/access_right/c_abf2Fracciones ContinuasFunción CaóticaNúmeros Mal AproximadosSistemas Dinámicos510Badly Approximable NumbersContinued FractionsChaotic FunctionDynamical SystemsDescripción de modelos caóticos en teoría ergódicaDescription of chaotic models in ergodic theoryMatemáticasUniversidad El BosqueFacultad de CienciasTesis/Trabajo de grado - Monografía - Pregradohttps://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fhttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1finfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttps://purl.org/coar/version/c_ab4af688f83e57aaBanks, J., Brooks, J., Cairns, G., Davis, G., & Stacey, P. (1992). On Devaney’s Definition of Chaos. The American Mathematical Monthly, 99.Beresnevich, V. (2014). Metric Number Theory.Boccaletti, S., Grebogi, C., Lai, Y. C., Mancini, H., & Maza, D. (2000). The control of chaos: theory and applications. Physics Reports, 329 (3), 103-197. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(99)00096-4Bordóns, C., Ruiz, M., & Limón, D. (2001). Teoría de sistemas. Universidad de Sevilla, Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática.Cárcamo, U. (1996). El origen fenomenológico de la teoría ergódica. Revista Universidad EAFIT, 32 (103), 15-27.Chaparro, G., & Escot, L. (2015). El control de sistemas dinámicos caóticos en economía: aplicación a un modelo de hiperinflación. Revista Finanzas y Política Económica, 7 (1), 131-145. https://doi.org/10.14718/revfinanzpolitecon.2015.7.1.7Delshams i Valdés, A. (2004). Poincaré, creador de los métodos todavía modernos en las ecuaciones diferenciales y en la mecánica celeste. Arbor, 178 (704), 669-689. https://doi.org/10.3989/arbor.2004.i704.555Devaney, R. L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2.a ed.). CRC Press.Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2010). Abstract algebra 3rd edition (Vol. 53).Einsiedler, M., & Ward, T. (2011). Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer London. https://doi.org/10.1007/978-0-85729-021-2Feigenbaum, M. J. (1978). Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 19 (1), 25-52. https://doi.org/10.1007/BF01020332Gonze, D. (2015). The logistic equation. https://studylib.net/doc/8211081/the-logistic-equationGuo, J. (2014). Analysis of Chaotic Systems. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:16794785Hardy, G., Wright, E., Heath-Brown, D., & Silverman, J. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers. OUP Oxford.Krishnan, G. G. (2016). Continued Fractions.Li, T.-Y., & Yorke, J. A. (1975). Period Three Implies Chaos. The American Mathematical Monthly, 82. https://doi.org/10.2307/2318254Lipschutz, S. (1965). General Topology. McGraw-Hill Book Company.Lorenz, E. (1972). Predictability: does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas? 139th Annual Meeting of the American Association for the Advancement of Science, 1-3.Mandelbrot, B. (1978). Les Objets fractals: forme, hasard et dimensions. Champs.May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261 (5560), 459-467. https://doi.org/10.1038/261459a0Mehling, K. (2019). Introduction to ergodic theory with applications to physics.Molina, M., Vega, E., & Silva, R. (2007). Teoría del Caos en la Protección de Información. Polibits, 1 (35), 7-11.Muñoz, J. (2022). Sistemas dinámicos discretos. Universidad de Sevilla.Olds, C. D. (1963). Continued Fractions (1.a ed., Vol. 9). Mathematical Association of America.Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. (1990). Controlling chaos. Physical Review Letters, 64 (11), 1196-1199. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.64.1196Poincaré, H. (1892). 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Descripción de modelos caóticos en teoría ergódica

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