Contribución al estudio de los sistemas no suaves (bifurcación zip) (2013)
En este trabajo se propone extender el concepto de la bifurcación zip introducido por el profesor Miklós Farkas [1984, 1985] en un sistema dinámico suave que modela la competición de dos especies predadores por una presa que se regenera, a sistemas dinámicos de naturaleza no suave, los cuales poseen un conjunto continuo de equilibrios a lo largo del cual la matriz jacobiana del sistema es discontinua y presentar una estrategia para su clasificación basada en la dinámica de sus valores propios para el caso en que las variedades invariantes bidimensionales locales del sistema existen a pesar de la conmutación del sistema no-suave. Se presenta un completo análisis del comportamiento dinámico y asintótico tanto de la componente real como imaginaria de los valores propios asociados a la linealización del sistema a lo largo de su conjunto de equilibrios y se establece un nuevo criterio de clasificación geométrico de las bifurcaciones en sistemas suaves de clase C2 planares, el cual preserva información sobre el número, estabilidad, topología de los conjuntos invariantes y también de las formas geométricas de nodos y focos alrededor de puntos de equilibrios hiperbólicos aislados. Con base en los resultados obtenidos en el análisis de las componentes de los valores propios y del criterio de clasificación geométrico antes mencionado se demuestra que la bifurcación de zip descubierta por Farkas [1985] al estudiar la componente real de los valores propios forma parte de un fenómeno más complejo determinado por la combinación de dos tipos de bifurcación geométrica las cuales son causadas por la acción simultánea de la componente real y la componente imaginaria de los valores propios a lo largo de su conjunto de equilibrios; dando lugar a un escenario de bifurcaciones conformado por 11 tipos de zip geométricos en total cuando el sistema es de naturaleza suave y a un escenario de bifurcaciones conformado por 142 tipos de zip geométricos no suaves en total en sistemas no suaves. En el caso en que las variedades invariantes bidimensionales locales del sistema no existen en el interior de su conjunto de equilibrios se demuestra que el fenómeno de pérdida continua de atractividad del segmento de equilibrios se preserva también en el fenómeno de zip no suave.