Optimización estática y dinámica en economía (2005)
El presente texto es el resultado de la depuración de las notas de clase del curso de matemáticas III para la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, y de cursos de economía matemática de pregrado de otras universidades que he dictado durante varios semestres. Se quieren presentar los temas abandonando la visión hacia la física o la ingeniería, con enfoque y aplicaciones a las ciencias económicas, que sirvan de base a los cursos que requieren las herramientas matemáticas de optimización estática y dinámica aquí presentadas. Se han desarrollado temas que van un poco más allá de lo básico, sin convertirse en un libro para estudiantes de matemáticas; se pretende seguir la idea de Maurice Allais: " ... El rigor debe apuntar hacia la comprensión del alcance de la hipótesis y la interpretación de los esultados. Jamás debe convertirse en un pretexto para hacer matemáticas por sí mismas". Por eso es un tanto informal, no se demuestran todos los teoremas, la teoría se ilustra con ejemplos y al final de cada tema se proponen ejercicios de variada dificultad para ilustrar y mecanizar lo expuesto en cada sección. En los tres primeros capítulos se presentan las bases sobre conjuntos, topología, funciones, grafos y contornos. El capítulo cuatro está dedicado a la convexidad. En el cinco y el seis se estudian la optimización estática no restringida y restringida, respectivamente, y se exponen los teoremas más importantes sobre optimización estática, base de la microeconomía. Los capítulos siete y ocho construyen las bases en procesos dinámicos discretos y continuos para poder presentar, en el nueve, los métodos básicos de optimización dinámica. En el último se tratan los temas básicos de optimización dinámica: cálculo de variaciones y control óptimo. Aunque éstos no hacen parte del curso de matemáticas III, sí lo son de los de economía matemática, además de servir como referencia en temas de crecimiento económico, macroeconomía y política económica. En la última sección de los capítulos siete, ocho y nueve se presentan tres aplicaciones de la teoría a modelos económicos de mercado, generacionales y de enfoque de la dinámica en economía. Como es intrínseco a cualquier actividad humana, el texto puede contener errores. Agradezco a los profesores Víctor Ardila y Sergio Monsalve y a mis alumnos de semestres anteriores que han tenido la paciencia de leer y corregir versiones preliminares de este texto, como también a quienes me hagan notar los errores que aún queden por corregir.