Probabilidad (2004)
Este texto está diseñado para un primer curso de teoría de probabilidad en las carreras de matemáticas y estadística, así como para los estudiantes de la especialización en estadística que no cuenten con conocimientos previos en el área. La idea de escribir este texto surgió hace ya varios años, como respuesta a la necesidad de contar con un texto en español, que abarcara los principales temas que deben ser vistos por los estudiantes de las carreras antes mencionadas. Fue así como en el año 1998 publiqué una primera versión del presente texto, en la colección "Notas de clase" de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Luego, a partir de la experiencia otorgada por la enseñanza del curso de probabilidad durante varios semestres, en los cuales se detectaron, gracias al aporte crítico de colegas y estudiantes, varias deficiencias y carencias en esa primera versión, ésta fue corregida y aumentada hasta dar origen al presente trabajo. El texto está dividido en ocho capítulos y cuatro apéndices. En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos de la teoría tales como: espacios de probabilidad, eventos independientes, probabilidad condicional y regla de Bayes. En el segundo se discuten los conceptos de variable aleatoria, distribución y función de distribución de una variable aleatoria, valor esperado, varianza, funciones generadora de momentos y característica. En el tercer y cuarto capítulo se presentan, respectivamente, las distribuciones de tipo discreto y continuo de uso más frecuente en las aplicaciones. El quinto capítulo está dedicado al estudio de los vectores aleatorios y sus distribuciones; se estudian entre otros temas, la distribución conjunta de variables aleatorias, los conceptos de independencia de variables aleatorias y de covarianza y coeficiente de correlación, se trabaja también la distribución de una función de un vector aleatorio, obteniendo como caso particular, las distribuciones de la suma, diferencia, producto y cociente de variables aleatorias. Finalmente se dedican las últimas secciones al estudio de los conceptos de valor esperado de un vector aleatorio, matriz de varianzas y covarianzas, funciones generadoras de momentos y características conjuntas y se termina con una introducción al estudio de la distribución normal multivariada. En el sexto capítulo se trabajan los conceptos de probabilidad y esperanza condicional. El estudio de los teoremas límites es el objetivo del séptimo capítulo, en él se estudian tres tipos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias: convergencia estocástica, casi siempre y en distribución, se establecen relaciones entre ellas y se presentan las leyes débil y fuerte de los grandes números, así como el Teorema Central del Límite. En el octavo y último capítulo se hace una introducción a la modelación aleatoria. Se explica cómo obtener algoritmos que permiten calcular probabilidades, valores esperados, así como simular valores de variables aleatorias con un número contable de posibles resultados y de variables aleatorias continuas con función de distribución conocida. En el apéndice uno se hace una breve introducción a la teoría de conjuntos, haciendo especial énfasis en los conceptos de imagen directa e inversa de una función. El el segundo apéndice se presentan los conceptos básicos del análisis combinatorio, desarrollando ejemplos ilustrativos del principio fundamental del conteo. En el tercer apéndice se presenta un resumen de los conceptos del álgebra lineal usados a lo largo del texto. Por último, el cuarto apéndice contiene las tablas de las funciones de distribución más usadas en las aplicaciones. Estas tablas fueron generadas con el programa MATLAB. Al final de cada capítulo hay una serie de ejercicios, con ellos el lector podrá verificar su comprensión de los temas desarrollados y encontrará, en algunos casos, material adicional de estudio. Para la comprensión del texto, el lector debe tener conocimientos sólidos del cálculo diferencial e integral en una y varias variables. Deseo agradecer de manera especial al profesor Ignacio Mantilla, quien además de brindarme su apoyo moral, colaboró no sólo en el desarrollo del octavo capítulo, escribiendo e implementando los algoritmos que en él aparecen, sino también en la generación de las tablas que aparecen en el cuarto apéndice. Por último deseo agradecer a la Universidad Nacional de Colombia, y en especial a su Departamento de Estadística, por brindarme el tiempo y las facilidades necesarias que hicieron posible la elaboración de este texto; a mis colegas Fabio Nieto y Humberto Mayorga de la Universidad Nacional y Fernando Ruiz del IDEAM, quienes colaboraron en la corrección del manuscrito, así como al Profesor Gustavo Rubiano, Director de Publicaciones de la Facultad de Ciencias, quien me motivó permanentemente.