Reducción y ajuste de mallas triangulares (2013)
Introducción: Los polígonos representan figuras elementales muy populares en aplicaciones de geometría computacional y computación gráfica. Por un lado, tienen una representación matemática simple, y por otro lado, los paquetes de despliegue gráfico (hardware-software) comerciales trabajan principalmente con ellos, siendo muy común en esta área la representación de superficies geométricas por mallas poligonales. Dentro de este tipo de mallas, son las mallas triangulares las más usadas en animación y realidad virtual, debido a que estas aplicaciones involucran modelos geométricos que son usualmente representados por mallas triangulares. Sin embargo, debido a que la frontera de los polígonos es lineal a trozos y a que éstos son planos, se necesitan miles o millones de primitivas poligonales para capturar los detalles de alta complejidad geométrica, lo cual no es computacionalmente práctico ya que el tiempo y la memoria requeridos para el despliegue son proporcionales al número de polígonos. Como consecuencia, para que la visualización, modificación o manipulación de algunas mallas poligonales se pueda hacer en un tiempo computacional razonable, hace falta eliminar información “redundante” de la misma para reducir el número de triángulos pero manteniendo la calidad de aproximación. Los tomógrafos, escáneres de resonancia magnética, cámaras de alto rango, procesadores digitales de imágenes (elevación de terreno, satelitales), entre otros, usualmente generan mallas poligonales grandes. La representación de superficies de Bernstein-Bézier ha ganado mucha importancia en el campo del Diseñó Geométrico Asistido por Computadora (CAGD), y con éste, los parches triangulares de grado bajo ya que son simples desde un punto de vista matemático y computacionalmente convenientes en aplicaciones, especialmente aquellos que yacen sobre cuádricas pues son altamente requeridos en aplicaciones de ingeniería mecánica y arquitectura debido al rol de la superficie cuádrica. Así, para tener una representación más confiable de una superficie, desde un punto de vista geométrico, se pueden cambiar los triángulos planos de la malla por un tipo de parches triangulares que yacen sobre cuádricas, donde la construcción de estos parches depende de configuraciones dadas por los triángulos de la malla y las normales en sus vértices. En el Capítulo 1 se estudian conceptos básicos sobre las mallas triangulares y se definen algunos términos usados a lo largo del documento: vecindad, distancia Hausdorff, número de Ceva, teorema de Brianchon, plano promedio entre otros. En el Capítulo 2 se considera el marco general para los algoritmos de reducción de mallas triangulares presentado por Kobbelt, Campagna y Seidel [5]. Se introducen los operadores topológicos, las nociones de distancia y los criterios de calidad como ingredientes fundamentales para construir un algoritmo de reducción de mallas triangulares. En el Capítulo 3 se estudian los algoritmos de reducción de mallas triangulares presentados en [5], [7] y [8], entre otros, acompañados de ejemplos realizados con programas desarrollados en el transcurso de la tesis. En el Capítulo 4 se estudian las condiciones requeridas para la construcción de un parche triangular cuadrático racional de Bézier que yace sobre una cuádrica, basados en el algoritmo presentado en [1]. Finalmente, se bosqueja un algoritmo de reducción de mallas triangulares que genera mallas cuyos triángulos cumplen, en un alto porcentaje, las condiciones de existencia de un parche cuadrático triangular racional que yace sobre una cuádrica. En los anexos se incluyen aspectos relevantes sobre geometría diferencial de superficies, algoritmos tipo “greedy” y superficies de Bézier.