Una generalización de la función aritmética g(n)=∏_(j=1)^n(j,n) y algunas de sus aplicaciones

Para una función aritmética h(x), consideramos la función g(n;h)=∏_(j=1)^n h((j,n)), donde (j,n) es el máximo común divisor de j y n. Damos evaluaciones en términos de potencias de primos, series de Dirichlet, y comportamientos asintóticos para g(n;h). La serie de Dirichlet da lugar a varias identidades donde participa la función zeta de Riemann. Además, se discuten algunos comportamientos asintóticos para el caso especial g(n)=g(n;e) donde e(x)=x. Finalmente mencionamos algunas aplicaciones relacionadas con esta función, por ejemplo, mostrar que para un entero positivo n, el número de soluciones distintas módulo n de la congruencia x^(n-1)≡1(mod n) está dado por la fórmula ∏_(p|n)(p-1,n-1). Otra aplicación se presenta en el estudio de puntos reticulares sobre rectas en el plano: dados dos puntos en el plano P(a,b) y Q(c,d), el número de puntos reticulares sobre el segmento (PQ) ̅ esta dado por (a-c,b-d )+1. / Abstract. For a given arithmetic function h(x), we consider the function g(n;h)=∏_(j=1)^n h((j,n)), where (j,n) is the greatest common divisor of j and n. Evaluations in terms of prime powers, Dirichlet series, and asymptotic formulae involving g(n;h) are given. The Dirichlet series leads to several identities involving the Riemann Zeta function. Also, some asymptotic formulae for the special case g(n)=g(n;e) where e(x)=x are discussed. Finally, some applications related to these functions are discussed: for example, given a positive integer n, the number of distinct solutions modulo n of the congruence x^(n-1)≡1(mod n) is given by the formula ∏_(p|n)(p-1,n-1). Another application arises in the study of lattice points on lines in the plane: given two integer lattice points P(a,b) and Q(c,d), the number of lattice points on the segment (PQ) ̅ is given by (a-c,b-d)+1.

• Autores: Niño Rojas, Francisco
• Fecha de publicación: 2010
• Institución: Universidad Nacional de Colombia
• Repositorio: Universidad Nacional de Colombia
• Idioma: spa
• OAI Identifier: oai:repositorio.unal.edu.co:unal/7420
• Acceso en línea: https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/7420; http://bdigital.unal.edu.co/3798/
• Palabra clave: 51 Matemáticas / Mathematics; Función aritmética; Serie de Dirichlet; Función Zeta de Riemann; Puntos reticulares; Seudoprimos / Arithmetic function; Dirichlet series; Riemann Zeta function; Lattice points; Pseudo prime
• Rights: openAccess
• License: Atribución-NoComercial 4.0 Internacional