Algunas Aplicaciones de Métodos de Espacios de Hilbert a Ecuaciones Diferenciales Semilineales con Espectro Discreto (2017)
En este trabajo exponemos algunas ideas que permiten abordar problemas relacionados a ecuaciones diferenciales semilineales desde la teoría de espacios de Hilbert y el Análisis Funcional. En los capítulos 2 y 3 presentamos una breve recopilación de algunos conceptos y resultados relacionados a ciertos espacios de Hilbert y la teoría espectral de operadores que es de utilidad en el planteamiento de ecuaciones diferenciales en dichos espacios. En la primera parte del capítulo 4 presentamos la forma general de las ecuaciones diferenciales semilineales que son el enfoque principal de este trabajo, y la manera en como éstas se relacionan con problemas de operadores en espacios de Hilbert. En el final del capítulo 4, desarrollamos como caso particular de las ecuaciones semilineales el oscilador armónico y el fenómeno de resonancia lineal para dicho problema; exhibimos soluciones y mostramos las relaciones que existen entre el espectro del operador diferencial y la existencia y unicidad de las soluciones al problema asociado. En el capítulo 5 establecemos las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de la solución al problema semilineal y finalmente en el capítulo 6 introducimos una generalización del anterior resultado a ecuaciones que involucran operadores diferenciales autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert cualquiera y no-linealidades más generales