Clasificación de superficies compactas (2022)
RESUMEN: A partir de algunos hechos generales sobre la teoría de superficies y de la teoría de grupos, la idea del presente trabajo es desarrollar las herramientas que permitan demostrar el teorema de clasificación de superficies compactas (sin frontera) y la relación que dicho resultado tiene con las sumas conexas de superficies. En este sentido, el primer capítulo empieza con una revisión de los conceptos topológicos necesarios para entender el teorema, incluyendo las definiciones básicas asociadas a espacios topológicos y algunas de sus propiedades. En el segundo capítulo se introduce la topología cociente la cual permitirá considerar las superficies compactas como espacios cociente de polígonos identificando pares de aristas, y definir los espacios adjuntos los cuales son la base para definir la operación de suma conexa de superficies. El tercer capítulo está destinado a las superficies sin frontera donde se presentarán algunos resultados generales asociados a este tipo de espacios. En el cuarto capítulo se definen los conceptos de simplejo y complejo simplicial los cuales darán paso a los conceptos de realización geométrica de un complejo y triangulación de una superficie, además se mostrarán las condiciones bajo las cuales un complejo corresponde a una triangulación de una superficie. El quinto capítulo se abordará el grupo fundamental el cual se empleará para definir la orientabilidad de una superficie, se verá que esta propiedad es un invariante topológico. En el capítulo seis se estudiarán los grupos de homología de complejos y los grupos de homología de espacios topológicos mediante el uso de la homología simplicial y la homología singular respectivamente; se observará la igualdad entre los grupos de homología de un complejo K y los grupos de homología de una superficie homeomorfa a la realización geométrica de K; luego se introducirá la característica de Euler-Poincaré de superficies que admiten una triangulación y se verá su invarianza topológica. Por último, se analizarán los grupos de homología de los poliedros finitos. Para el capítulo siete, se definirán los complejos celulares (una extensión del concepto de complejo) y se asociará para cada complejo celular K un espacio topológico jKj, luego se considerarán los complejos celulares canónicos y la operación de subdivisión elemental la cual ayudará a establecer el concepto de equivalencia de dos complejos celulares; con base en estas ideas y algunos resultados preliminares se demostrará el teorema de clasificación. Finalmente, se concluirá el capítulo introduciendo brevemente la operación de suma conexa de superficies y su relación con el teorema. Es necesario clarificar que esta tesis no cubrirá exhaustivamente todos los temas relacionados con el teorema de clasificación de superficies, sin embargo, brindará la bibliografía necesaria para profundizar en cada uno de los contenidos que se estarán presentando.