Comprensión del concepto de curva en el marco de la teoría de Pirie y Kieren (2022)
RESUMEN: La importancia histórica y epistemológica del concepto de curva y la creciente preocupación por el estudio de la comprensión que se ha generalizado en el ámbito de la Educación Matemática, despiertan el interés por aportar en este campo a través de la presente investigación, la cual se enfoca en la comprensión del concepto de curva en las transiciones entre lo discreto y lo continuo en el marco de la teoría de la evolución de la comprensión matemática planteada hace algunas décadas atrás por Susan Pirie y Thomas Kieren. En principio se plantea el problema de investigación, el cual converge en la pregunta que busca responder cómo es el proceso de comprensión del concepto de curva en estudiantes de cálculo integral de programas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Antioquia. A partir de allí, se hace necesario conocer la evolución y principales elementos que estructuraron dicho concepto a lo largo de siglos de evolución de la matemática, destacando a su vez los aportes más fehacientes de reconocidos matemáticos a través de la historia. Posteriormente, se analizan los conceptos de continuidad, discreto e infinito, pilares dentro de la formalización de lo que se ha denominado en este estudio como transición. Esta discusión en torno a tales conceptos son el preámbulo para articularlos con la comprensión como objeto de estudio. Luego de esta confluencia entre el objeto matemático y el objeto de estudio de la investigación, se plantea como objetivo analizar en los estudiantes de un curso de cálculo integral que hacen parte de los cursos del núcleo común de los programas de Ingeniería de dicha Facultad, la comprensión del concepto de curva en la transición entre lo discreto y lo continuo mediante procesos de razonamiento infinito en el marco de la teoría de Pirie y Kieren (PK). Para lograrlo, se emplea la metodología de experimentos de enseñanza (conocida por sus siglas en inglés como TEM: Teaching Experiment Methodology), que permiten estructurar un episodio de enseñanza a través de tres fases: preparación del experimento, experimentación y análisis preliminar, y por último, análisis retrospectivo. A su vez, dentro de estas fases se implementan tres instrumentos de recolección de información (cuestionario inicial, entrevista semiestructurada, cuestionario final) y, para cada uno de ellos se diseñan una serie de descriptores que son refinados a lo largo de la investigación. De este modo, una vez obtenidos los resultados del trabajo de campo, los descriptores son utilizados para ubicar los estudiantes en un nivel de comprensión dentro del modelo PK y a su vez asociar las variables dentro de la unidad de análisis, con el fin de generar la matriz de perfil de cada estudiante. Los resultados obtenidos con dicha matriz integran el TEM, los niveles PK y las categorías de análisis, brindando un panorama que exhibe el nivel de comprensión de cada estudiante con respecto al concepto de curva y una serie de conclusiones de gran relevancia. Desde el punto de vista histórico y epistemológico se deja en evidencia la importancia del concepto de curva al momento de entrar en discusión sobre la noción de derivada e integral. Esto en gran medida por que tanto la derivada como la integral se fundamentan desde el concepto de curva en sí misma, y, la manera como las respuestas de los estudiantes en los instrumentos lo validan, se entra en conflictos y contradicciones incluso cuando no se reconoce si una función es una curva o si la generación de una curva implica movimiento. Estas consideraciones en el cálculo con base en los resultados obtenidos dan cuenta de que debe destacarse y replantear el concepto antes de formalizar otros que dependen de este para su definición y formalización. Por último, la investigación plasma la importancia de los TEM dentro de la enseñanza de la matemática, y en este sentido, queda todo un camino por recorrer en pro de ampliar los experimentos de enseñanza en el aula, de tal manera que la evolución de la comprensión de los estudiantes se convierta en sí mismo en el eje principal de las propuestas pedagógicas de los profesores siendo estos a su vez docentes, tutores e investigadores.