Aplicación de los métodos iterativos de espacios de Krylov a la solución numérica de la ecuación de Poisson
En este trabajo de grado, presentaremos algunos métodos iterativos de espacios de Krylov. Estos métodos son de gran utilidad al buscar soluciones aproximadas para sistemas del tipo Ax=b, especialmente cuando hay una gran cantidad de ceros en la matriz. Aplicaremos estos métodos para obtener una apro...
- Autores:
-
López Hernández, Herlys Yulieth
Pacheco Zapata, Miguel Ángel
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2023
- Institución:
- Universidad de Córdoba
- Repositorio:
- Repositorio Institucional Unicórdoba
- Idioma:
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- OAI Identifier:
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- Acceso en línea:
- https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/7670
- Palabra clave:
- Métodos iterativos
Especios de Krylov
GMRES
MINRES
Ecuación de poisson
Diferencias finitas
Electrostática
Distribución de calor
Potencial eléctrico
Iterative methods
Krylov spaces
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En este trabajo de grado, presentaremos algunos métodos iterativos de espacios de Krylov. Estos métodos son de gran utilidad al buscar soluciones aproximadas para sistemas del tipo Ax=b, especialmente cuando hay una gran cantidad de ceros en la matriz. Aplicaremos estos métodos para obtener una aproximación numérica de la ecuación de Poisson, que será estudiada y planteada a lo largo de este trabajo. En primer lugar, introduciremos algunos conceptos preliminares sobre los espacios de Krylov, explicando su origen y presentando métodos importantes derivados de este espacio. Posteriormente, plantearemos la ecuación de Poisson y la resolveremos utilizando el método de diferencias finitas, para así analizar su estabilidad, consistencia y convergencia. Por último, aplicaremos esta ecuación en algunos campos de la física, donde utilizaremos los métodos de Krylov para encontrar soluciones eficientes, con esto, buscamos explorar y utilizar los métodos iterativos de los espacios de Krylov como herramientas efectivas en la resolución aproximada de sistemas con una matriz esparsa, centrándonos en la ecuación de Poisson y su aplicación en diversos contextos de la física. |
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Avilez Ortiz, Sergio Avilezb1de20a9-78ec-45c9-875b-48f157d91580-1López Hernández, Herlys Yulieth94fc77c9-5c92-4fda-9a2f-d76a44cc3c5d-1Pacheco Zapata, Miguel Ángele2f386d4-e502-4496-af12-56a80427076e-12023-08-17T18:42:32Z2023-08-17T18:42:32Z2023-08-17https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/7670En este trabajo de grado, presentaremos algunos métodos iterativos de espacios de Krylov. Estos métodos son de gran utilidad al buscar soluciones aproximadas para sistemas del tipo Ax=b, especialmente cuando hay una gran cantidad de ceros en la matriz. Aplicaremos estos métodos para obtener una aproximación numérica de la ecuación de Poisson, que será estudiada y planteada a lo largo de este trabajo. En primer lugar, introduciremos algunos conceptos preliminares sobre los espacios de Krylov, explicando su origen y presentando métodos importantes derivados de este espacio. Posteriormente, plantearemos la ecuación de Poisson y la resolveremos utilizando el método de diferencias finitas, para así analizar su estabilidad, consistencia y convergencia. Por último, aplicaremos esta ecuación en algunos campos de la física, donde utilizaremos los métodos de Krylov para encontrar soluciones eficientes, con esto, buscamos explorar y utilizar los métodos iterativos de los espacios de Krylov como herramientas efectivas en la resolución aproximada de sistemas con una matriz esparsa, centrándonos en la ecuación de Poisson y su aplicación en diversos contextos de la física.Declaración de autoría ................................ 5Agradecimientos .........................................7Resumen ............................................ 9Abstract .................................................. 10Índice de figuras ................................................. 13Introducción .......................................................... 141. Preliminares ............................................................171.1. El método del gradiente conjugado (CG) ............................................. 171.1.1. El método de descenso más pronunciado y sus deficiencias ............. 201.1.2. Derivación heurística del algoritmo de gradiente conjugado .......... 221.2. Espacios de Krylov......................................................... 251.2.1. El método de Arnoldi .............................................................. 261.2.2. Método del residuo mínimo generalizado (GMRES) ............................... 281.2.3. Lanczos simétrico ............................................. 301.2.4. The Minimal Residual Method (MINRES) .................................................... 321.3. Importancias de los métodos iterativos de Krylov ................ 332. Ecuación de Poisson .................................................... 362.1. Planteamiento del problema de Poisson ........................................ 362.1.1. Origen de la ecuación de Poisson ............................. 362.1.2. Ecuación de Poisson...............................................372.1.3. Condiciones de frontera ................................................ 382.1.4. Modelamiento de la ecuación .............................................. 392.2. Existencia y unicidad de las soluciones.............................................. 402.3. Método de diferencias finitas (MDF) ............................................ 432.3.1. Método de diferencias finitas en 2D ............................................ 442.3.2. Algoritmo para la solución numérica de la ecuación Poisson usando diferencias finitas ...................................................... 483. Análisis de la ecuación de Poisson y aplicaciones de los métodos de Krylov en su solución numérica .................................................................. 563.1. Análisis de convergencia, estabilidad y consistencia ................................... 563.2. Algunos campos de aplicación .......................................................723.2.1. Flujo de calor ..................................................... 723.2.2. Electrostática................................................. 753.2.3. Potencial eléctrico .................................................... 78Conclusiones ..................................................... 82Referencias .................................................... 83PregradoMatemático(a)Monografíasapplication/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2023https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccessAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)http://purl.org/coar/access_right/c_abf2Aplicación de los métodos iterativos de espacios de Krylov a la solución numérica de la ecuación de PoissonTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fTexthttp://purl.org/coar/version/c_71e4c1898caa6e32Métodos iterativosEspecios de KrylovGMRESMINRESEcuación de poissonDiferencias finitasElectrostáticaDistribución de calorPotencial eléctricoIterative methodsKrylov spacesGMRESMINRESPoisson's equationFinite differencesElectrostaticsHeat distributionElectric potentialFacultad de Ciencias BásicasMontería, Córdoba, ColombiaMatemática[1] Marc Bonnet. Lecture notes on numerical linear algebra. Engineering school. France, 2021.[2] Javier Escribano. Biografía Matemáticos: Siméon Denis Poisson. en. URL: https://virtual. uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/poisson-1.asp.htm.[3] Yohan Dıaz Ferrer y Miguel Cruz Ramırez. “Algoritmo para la solución numérica de la ecuación de Poisson usando diferencias finitas”. En: Divulgaciones Matematicas 20.1 (2019), págs. 67-77.[4] William Ford. Numerical linear algebra with applications: Using MATLAB. Academic Press, 2014.[5] José Luis de la Fuente OConnor. “Ingeniería de los algoritmos y métodos numéri cos: Un acercamiento práctico y avanzado a la computación científica e ingenieril con Matlab”. En: Editorial Círculo Rojo, El Ejido, Almería, España (2017).[6] Martin H Gutknecht. “A brief introduction to Krylov space methods for solving linear systems”. En: Frontiers of Computational Science: Proceedings of the International Sympo sium on Frontiers of Computational Science 2005. Springer. 2007, págs. 53-62.[7] Magnus R Hestenes, Eduard Stiefel et al. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. Vol. 49. 6. 1952, págs. 409-436.[8] IQSdirectory. Capacitive touch screen. en-US. URL: https://www.iqsdirectory.com/ articles/membrane-switch/capacitive-touch-screens.html.[9] Aleksey Nikolaevich Krylov. “On the numerical solution of the equation by which in technical questions frequencies of small oscillations of material systems are determi ned”. En: Izvestija AN SSSR (News of Academy of Sciences of the USSR), Otdel. mat. i estest. nauk Vol.7.4 (1931), págs. 491-539.[10] Leonid P Lebedev y Ricardo O Grossi. “La ecuación de Poisson desde el punto de vista de la mecánica”. En: Revista Internacional de métodos numéricos (2003).[11] J J O’Connor y E F Robertson. Aleksei Krylov. en. URL: https://mathshistory.st andrews.ac.uk/Biographies/Krylov_Aleksei/.[12] problemas-con-condiciones-de-frontera.pdf. en-US. 2010. URL: https://gnfisica.files. wordpress.com/2010/04/problemas-con-condiciones-de-frontera.pdf.[13] Abner J Salgado y Steven M Wise. Classical Numerical Analysis: A Comprehensive Course. Cambridge University Press, 2022.[14] Jonathan Richard Shewchuk et al. An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain. 1994.[15] Super Usuario. 15 de agosto, Natalicio de Aleksei Krylov. en. URL: https : / / paginas . matem.unam.mx/matematicos/otras- efemerides- de- todo- el- mes- de- agosto/ 559-15-de-agosto-natalicio-de-aleksei-krylov.[16] Holger Wendland. Numerical linear algebra: An introduction. Vol. 56. Cambridge Univer sity Press, 2017.[17] colaboradores de Wikipedia. “Circuito integrado”. es. En: Wikipedia, la enciclopedia libre (2023). URL: https : / / es . wikipedia . org / wiki / Circuito _ integrado # /media / Archivo:07R01.jpg.[18] Contribuidores da Wikipédia. “Siméon Denis Poisson”. pt. En: pt.wikipedia.org (2022). URL: https://pt.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson#/media/ Ficheiro:Simeon_Poisson.jpg.PublicationORIGINALLopezHerlys-Pacheco Miguel.pdfLopezHerlys-Pacheco Miguel.pdfapplication/pdf2512725https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/6239a501-71df-4a0b-b3ca-47f98a17c95c/download804a5884a5eaabae16d6966181d4c4fdMD51Formato de autorización.pdfFormato de autorización.pdfapplication/pdf737429https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/bcd0dc97-8723-48f1-96ac-f51b4add3915/download910f0968ddf08e83601810867563df82MD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-814828https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/3941345f-3a02-4f10-9709-7520a869e95b/download2f9959eaf5b71fae44bbf9ec84150c7aMD53TEXTHerlys Lopez- Miguel Pacheco.pdf.txtHerlys Lopez- Miguel Pacheco.pdf.txtExtracted 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