Objetos combinatorios asociados a los números de Catalan

El presente trabajo aborda los números de Catalan, una importante sucesión en matemática discreta con múltiples aplicaciones en combinatoria. Se introducen las propiedades fundamentales de estos números, su recurrencia, función generatriz y fórmulas explícitas. Además, se exploran diversas estructur...

Full description

Autores:
Padilla Benavides, Mauricio
Tipo de recurso:
Trabajo de grado de pregrado
Fecha de publicación:
2025
Institución:
Universidad de Córdoba
Repositorio:
Repositorio Institucional Unicórdoba
Idioma:
spa
OAI Identifier:
oai:repositorio.unicordoba.edu.co:ucordoba/8889
Acceso en línea:
https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/8889
https://repositorio.unicordoba.edu.co
Palabra clave:
Números de Catalan
Combinatoria
Triangulaciones
Arboles binarios
Trayectorias de Dyck
Palabras de Catalan
Catalan numbers
Combinatorics
Triangulations
Binary trees
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Catalan words
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Además, se exploran diversas estructuras combinatorias que pueden contarse utilizando los números de Catalan, como triangulaciones de polígonos convexos, árboles binarios, trayectorias de Dyck y palabras de Catalan. El trabajo incluye demostraciones rigurosas de las principales propiedades, así como ejemplos detallados que ilustran la relación entre los números de Catalan y estos objetos combinatorios. Adicionalmente, se presenta una revisión histórica que resalta el desarrollo de la teoría, esta sucesión de números ha sido conocida como los números de Segner o los números de Euler-Segner, pero, desde las investigaciones realizadas por el matemático norteamericano John Riordan en la década de 1960, se le atribuye el nombre de los números de Catalan en honor a Eugene Charles Catalan. Este estudio contribuye a una comprensión más profunda de la teoría combinatoria y su utilidad en la solución de problemas matemáticos clásicos.This work focuses on Catalan numbers, an important sequence in discrete mathematics with numerous combinatorial applications. The fundamental properties of these numbers, including their recurrence, generating function, and explicit formulas, are introduced. Furthermore, several combinatorial structures counted by Catalan numbers are explored, such as triangulations of convex polygons, binary trees, Dyck paths, and Catalan words. The work includes main properties and hair proofs, as well as detailed examples illustrating the relationship between Catalan numbers and these combinatorial objects. Additionally, a historical review that highlights the development of the theory, this sequence of numbers was known as Segner numbers or Euler-Segner numbers, but since the research conducted by the American mathematician John Riordan in the 1960s, it has been named Catalan numbers in honor of Eugène Charles Catalan. This study contributes to a deeper understanding of combinatorial theory and it's utility in solving classical mathematical problems.Resumen. . . . . . . . . . . . . . ivAbstract. . . . . . . . . . . . . . vIntroducción. . . . . . . . . . . . . . 11. Preliminares. . . . . . . . . . . . . . 51.1. Introducción a la teoría combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1. Principios de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4. Principio de Inclusión-Exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6. Objetos combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Algunas propiedades de los coeficientes binomiales . . . . . . . . . . . 101.3. Funciones generadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1. Series de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Números de Catalan. . . . . . . . . . . . . . 152.1. Propiedades Fundamentales de los Números de Catalan . . . . . . . . 152.2. Tabla de los Primeros 41 números de catalan . . . . . . . . . . . . . . 273. Aplicaciones de los Números de Catalan. . . . . . . . . . . . . . 293.1. Conteo de las triangulaciones de un polígono convexo con n + 2 vértices. . . . . . . . . . . . . . 293.2. Conteo de los árboles binarios con n vértices . . . . . . . . . . . . . . 323.3. Conteo de las trayectorias de Dyck de longitud 2n . . . . . . . . . . 344. Palabras de Catalan. . . . . . . . . . . . . . 374.1. Palabras de Catalan y Representaciones Asociadas . . . . . . . . . . . 374.2. Área Máxima y Área Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40PregradoMatemático(a)Monografíasapplication/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2025https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)info:eu-repo/semantics/openAccesshttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2Objetos combinatorios asociados a los números de CatalanTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1finfo:eu-repo/semantics/acceptedVersionText[1] P. Flajolet, R. Sedgewick, Analytic Combinatorics. Cambridge University Press, 2009.[2] J. Loera, J. Rambau, F. Santos, Triangulations. Structures for Algorithms and Applications. Springer, Berlin, Heidelberg, 2010.[3] R. Stanley, Catalan Numbers. Cambridge University Press, 2015.[4] D. Callan, T. Mansour, J. Ramírez, Statics on bargraphs of Catalan words. 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Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994.Números de CatalanCombinatoriaTriangulacionesArboles binariosTrayectorias de DyckPalabras de CatalanCatalan numbersCombinatoricsTriangulationsBinary treesDyck pathsCatalan wordsFacultad de Ciencias BásicasMontería, Córdoba, ColombiaMatemáticaPublicationLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-815543https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/57b0743c-4895-4f50-96bc-33230ba73d9c/download73a5432e0b76442b22b026844140d683MD51ORIGINAL Mauricio Padilla..pdf Mauricio Padilla..pdfapplication/pdf1847039https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/7e913305-5a4d-490b-9bcd-17b8b2707536/downloadf81d4b2bac714da8f3103e74ff9c219dMD53Autorización.pdfAutorización.pdfapplication/pdf486698https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/5449fa08-0aae-4bb4-b5eb-64af4114b6cb/download06d764997d40fd5bd5431c9b59f20fdaMD52TEXTMauricio Padilla..pdf.txtMauricio Padilla..pdf.txtExtracted 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