Estudio de la transformada de laplace como método para resolver problemas con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
En el presente documento se pretende estudiar con cierto grado de profundidad la transformada de Laplace en el campo de los complejos como método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con condiciones iniciales y de frontera, aunque solo se estudiarán los casos lineales. Se de...
- Autores:
-
Arteaga Palomo, Manuel Eduardo
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2023
- Institución:
- Universidad de Córdoba
- Repositorio:
- Repositorio Institucional Unicórdoba
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.unicordoba.edu.co:ucordoba/7073
- Acceso en línea:
- https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/7073
- Palabra clave:
- Transformada de Laplace
Fórmula de inversión de la transformada de Laplace
Contorno de Bromwich
Teorema de Cauchy
Teorema de los residuos
Ecuación unidimensional del calor
Ecuación unidimensional de onda
Laplace Transform
Laplace Transform Inversion Formula
Bromwich Contour
Cauchy Theorem
Residue Theorem
One-dimensional Heat Equation
One-dimensional Wave Equation
- Rights
- openAccess
- License
- Copyright Universidad de Córdoba, 2023
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En el presente documento se pretende estudiar con cierto grado de profundidad la transformada de Laplace en el campo de los complejos como método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con condiciones iniciales y de frontera, aunque solo se estudiarán los casos lineales. Se demostrará la analiticidad de la transformada de Laplace, las propiedades más importantes de este operador integral y se listan las transfromadas de algunas funciones elementales; seguidamente se estudia la transformada inversa, se mencionan algunos métodos para calcularla con ayuda de la teoría de la variable compleja basada en los residuos y el Teorema de Cauchy, luego, se aplican todos los resultados dados para resolver problemas modelados con la ecuación de onda y la ecuación calor. |
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Se demostrará la analiticidad de la transformada de Laplace, las propiedades más importantes de este operador integral y se listan las transfromadas de algunas funciones elementales; seguidamente se estudia la transformada inversa, se mencionan algunos métodos para calcularla con ayuda de la teoría de la variable compleja basada en los residuos y el Teorema de Cauchy, luego, se aplican todos los resultados dados para resolver problemas modelados con la ecuación de onda y la ecuación calor.Resumen IIIAbstract IVIntroducción 11. Preliminares 31.1. Teoremas de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 41.3. Diferenciabilidad compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Integración compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Teoría de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.1. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.2. Función de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6.3. La función Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. La transformada de Laplace 102.1. Definición de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teoremas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Teoremas de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Analiticidad de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Teorema de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Transformada de Laplace de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . 203. Transformada inversa de Laplace 213.1. Relación con la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Fórmula de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Unicidad de la transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Inversión de fracciones polinómicas mediante fracciones parciales . . . . . . . 253.5. Teorema de los residuos para encontrar transformadas inversas de cociente de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6. Transformada inversa de Laplace de funciones con puntos de ramificación . . . 293.7. Transformada inversa de Laplace para funciones con infinitos polos . . . . . . . 344. Aplicaciones a problemas con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 374.1. La ecuación de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3. La transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Bibliografía 46PregradoMatemático(a)Monografíasapplication/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2023https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/info:eu-repo/semantics/openAccessAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)http://purl.org/coar/access_right/c_abf2Estudio de la transformada de laplace como método para resolver problemas con ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesTrabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/bachelorThesishttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fTexthttp://purl.org/coar/version/c_71e4c1898caa6e32Transformada de LaplaceFórmula de inversión de la transformada de LaplaceContorno de BromwichTeorema de CauchyTeorema de los residuosEcuación unidimensional del calorEcuación unidimensional de ondaLaplace TransformLaplace Transform Inversion FormulaBromwich ContourCauchy TheoremResidue TheoremOne-dimensional Heat EquationOne-dimensional Wave EquationFacultad de Ciencias BásicasMontería, Córdoba, ColombiaMatemática[1] Simmons, George F. Calculus With Analytic Geometry, McGraw-Hill, New York (1996).[2] Apóstol, Tom M. Análisis Matemático, Introducción moderna al cálculo superior. Editorial Reverté S.A, segunda edición, Barcelona (1976).[3] Debnath, Lokenath y Bhatta, Dambaru. Integral transforms and their applications, tercera edición, New York (2015).[4] Carslaw, H.S. y Jaeger, J.C. Operational Methods in Applied Mathematics, Univer sidad de Oxford, segunda edición, Londres (1953).[5] Haberman, Richard. Applied partial differential equations with Fourier series and boundary value problems, quinta edición, Boston (1983).[6] Schiff L., Joel. The Laplace tranforms, Theory and aplicattions. Editorial Board, De partamento de Matemáticas de la Universidad de California (1991).[7] Churchill V., Ruel y Brown Ward, James. Variable Compleja y Aplicaciones, septima edición, México (2004)[8] E.C., Zachmanoglou y D.W., Thoe. Introduction to Partial Differential Equations with Aplications. 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The Laplace Transform, Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton (1941).PublicationORIGINALArteagaPalomoManuelEduardo.pdfArteagaPalomoManuelEduardo.pdfapplication/pdf839543https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/518962a0-5aec-418a-b42a-275fdff7f676/download2b991de51b0bc909e581851b6e2073e2MD51Formato de autorizacion.pdfFormato de autorizacion.pdfapplication/pdf567556https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/9e38e856-7dc2-40f2-9090-cd97ece22284/download61e3bf5039337a97347e55378d224a22MD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-814828https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/3ad9ce18-7599-4d3c-8107-e5ee193f0606/download2f9959eaf5b71fae44bbf9ec84150c7aMD53TEXTArteagaPalomoManuelEduardo.pdf.txtArteagaPalomoManuelEduardo.pdf.txtExtracted texttext/plain79154https://repositorio.unicordoba.edu.co/bitstreams/5e6491f5-82e3-4573-974e-789570acf14d/downloaddde4e72a7cf938d5e33846fa6f49e358MD54Formato de autorizacion.pdf.txtFormato de 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