Estudio de las propiedades topólogicas del Conjunto de Mandelbrot
El presente trabajo de investigación estudia el comportamiento de sistemas dinámicos discretos en variable compleja, especialmente funciones racionales de segundo grado. A partir de la aplicación de las técnicas empleadas a los sistemas dinámicos se definen formalmente los conjuntos de Julia, Fatou...
- Autores:
-
Sierra Zamora, Dairo Andrés
- Tipo de recurso:
- Trabajo de grado de pregrado
- Fecha de publicación:
- 2023
- Institución:
- Fundación Universitaria Konrand Lorenz
- Repositorio:
- Fundación Universitaria Konrand Lorenz
- Idioma:
- spa
- OAI Identifier:
- oai:repositorio.konradlorenz.edu.co:001/5634
- Acceso en línea:
- https://repositorio.konradlorenz.edu.co/handle/001/5634
- Palabra clave:
- Geometría fractal
Teoría del caos
Iteraciones
Autosimilitud
Sistemas dinámicos discretos
Fractales
Topología
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- Atribución-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0)
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El presente trabajo de investigación estudia el comportamiento de sistemas dinámicos discretos en variable compleja, especialmente funciones racionales de segundo grado. A partir de la aplicación de las técnicas empleadas a los sistemas dinámicos se definen formalmente los conjuntos de Julia, Fatou y el famoso conjunto de Mandelbrot; sin duda uno de los objetos matemáticos mas bellos y el cual ejemplifica claramente la naturaleza fractal de este tipo de conjuntos. Para el desarrollo de este proyecto se emplearon técnicas de la teoría de los sistemas dinámicos y algunos teoremas del análisis complejo que junto con la topología permiten describir las propiedades de dichos conjuntos tales como su conexidad. Los principales resultados obtenidos de esta investigación fueron: Descripción formal de algunas de las propiedades topológicas de los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot; a partir de la prueba de que este tipo de sistemas dinámicos son acotados, se logra demostrar y deducir el teorema del radio límite que permite la descripción del algoritmo para la representación gráfica de estos conjuntos en el plano complejo conocido como el algoritmo de tiempo de escape. Se demuestra también que los conjuntos de Julia son completamente invariantes y así proponer un algoritmo para la representación de los conjuntos de Julia conocido en la literatura como el algoritmo de iteración inversa. Finalmente, mediante la aplicación del concepto de conjugado topológico se logra definir formalmente el conjunto de Mandelbrot y su relación con los conjuntos de Julia, se logra mostrar la relación que existe entre el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos conexos de Julia. Se finaliza el estudio mencionando un resultado muy importante de la teoría como lo es la conexidad del conjunto de Mandelbrot y la diferencia con el concepto de conexidad local, lo que actualmente es un problema abierto dentro del campo de la dinámica holomorfa conocido como la conjetura MLC. |
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A partir de la aplicación de las técnicas empleadas a los sistemas dinámicos se definen formalmente los conjuntos de Julia, Fatou y el famoso conjunto de Mandelbrot; sin duda uno de los objetos matemáticos mas bellos y el cual ejemplifica claramente la naturaleza fractal de este tipo de conjuntos. Para el desarrollo de este proyecto se emplearon técnicas de la teoría de los sistemas dinámicos y algunos teoremas del análisis complejo que junto con la topología permiten describir las propiedades de dichos conjuntos tales como su conexidad. Los principales resultados obtenidos de esta investigación fueron: Descripción formal de algunas de las propiedades topológicas de los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot; a partir de la prueba de que este tipo de sistemas dinámicos son acotados, se logra demostrar y deducir el teorema del radio límite que permite la descripción del algoritmo para la representación gráfica de estos conjuntos en el plano complejo conocido como el algoritmo de tiempo de escape. Se demuestra también que los conjuntos de Julia son completamente invariantes y así proponer un algoritmo para la representación de los conjuntos de Julia conocido en la literatura como el algoritmo de iteración inversa. Finalmente, mediante la aplicación del concepto de conjugado topológico se logra definir formalmente el conjunto de Mandelbrot y su relación con los conjuntos de Julia, se logra mostrar la relación que existe entre el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos conexos de Julia. Se finaliza el estudio mencionando un resultado muy importante de la teoría como lo es la conexidad del conjunto de Mandelbrot y la diferencia con el concepto de conexidad local, lo que actualmente es un problema abierto dentro del campo de la dinámica holomorfa conocido como la conjetura MLC.The present research work studies the behavior of discrete dynamical systems in complex variables, especially second degree rational functions. in complex variable, especially rational functions of second degree. From the application of the application of the techniques used to dynamical systems, we formally define the Julia, Fatou and Mandelbrot sets. and the famous Mandelbrot set; undoubtedly one of the most beautiful mathematical objects and which exemplifies the which clearly exemplifies the fractal nature of this type of sets. For the development of this project we used techniques of the theory of dynamical systems and some theorems of the complex theorems of complex analysis that together with topology allow us to describe the properties of these sets such as their connectedness. properties of these sets such as their connectedness. The main results obtained from this research were: Formal description of some of the topological properties of the sets, such as of the topological properties of the Julia sets and the Mandelbrot set; from the proof that this type of sets are proof that this type of dynamical systems are bounded, it is possible to demonstrate and deduce the theorem of the limit radius that the limit radius theorem that allows the description of the algorithm for the graphical representation of these sets in the complex plane known as the of these sets in the complex plane known as the escape time algorithm. It is also demonstrated that the Julia sets are completely invariant and thus to propose an algorithm for the representation of Julia sets known in the literature as the inverse iteration algorithm. inverse iteration algorithm. Finally, by applying the concept of topological conjugate, it is possible to formally define the Mandelbrot set and its relation with the Julia sets. the Mandelbrot set and its relation with the Julia sets, it is possible to show the relation that exists between the Mandelbrot set and the the relationship that exists between the Mandelbrot set and the connected Julia sets. The study ends the study by mentioning a very important result of the theory such as the connectedness of the Mandelbrot set and the Julia set. the Mandelbrot set and the difference with the concept of local connexity, which at present is an open is an open problem in the field of holomorphic dynamics known as the MLC conjecture. MLC.MatemáticoPregradoMatemáticas puras48 páginas: figurasspaBogotá D.C : Fundación Universitaria Konrad Lorenz, 2023Facultad de Matemáticas e IngenieríasMatemáticasGeometría fractalTeoría del caosIteracionesAutosimilitudSistemas dinámicos discretosFractalesTopologíaEstudio de las propiedades topólogicas del Conjunto de MandelbrotTrabajo de grado - Pregradohttp://purl.org/coar/resource_type/c_7a1fTextBeardon A., Iteration of rational functions: Complex analytic dynamical systems, Springer, New York, 1991.C. Adams and R. Franzosa, Introduction to topology: Pure and applied, Pearson Pretince Hall, United States, 2008.D. Alexander, A history of complex dynamics: From schöder to fatou and julia, Springer, 1994Mandelbot B., La geometría fractal de la naturaleza, Metatemas, Barcelona, 1997.C. Bandt, M. Barnsley, R. Devaney, K. Falconer, V. Kannan, and V. 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