Filtros en espacios de Banach

Las sucesiones juegan un papel fundamental en las matemáticas por su utilidad en las demostraciones de teoremas y propiedades de la topología, también son fundamentales en las matemáticas aplicadas. Solo por nombrar ejemplos, las sucesiones son claves en la caracterización de funciones continuas o en la caracterización de subconjuntos compactos en espacios metrizables, son usadas para demostrar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones a través del Teorema del Punto Fijo o en métodos iterativos como el de divide y vencerás, e incluso en la notación asintótica que permite estimar la eficiencia de un algoritmo. En los últimos 50 años, aproximadamente, diversos matemáticos han realizado contribuciones sobre generalizaciones de este concepto. Específicamente, han realizado generalizaciones del concepto clásico de convergencia por medio de nociones conjuntistas. Por ejemplo, Kostyrko, Šalát y Wilczyński usan la noción de ideal topológico, introducida por Kuratowski en el año 1933, para generar una convergencia de sucesiones vía ideales. También es muy conocida la generalización de convergencia de sucesiones usando la noción de filtro, los cuales fueron introducidos por Cartan en 1937. No se sabe a ciencia cierta quien introduce la noción de convergencia usando filtros, lo que sí es cierto es que ya forma parte del folklore dentro de la topología y es usada por muchos matemáticos para realizar generalizaciones de teorías basadas en este concepto. En este trabajo se realiza un estudio de los filtros, se dan ejemplos, se enuncian y se demuestran sus principales propiedades. Se hace uso del Lema de Zorn para garantizar la existencia, bajo ciertas condiciones, de los ultrafiltros (filtros maximales), se dota a la colección de todos los ultrafiltros sobre N de una topología, el espacio topológico obtenido resulta siendo la compactificación de Stone-Čech de los números naturales. Luego, dado un filtro F, se estudia la noción de sucesión F−convergente sobre un espacio topológico. Puntualmente, se desglosa el artículo de Ferreira, en el cual se trabaja el concepto de convergencia de sucesiones usando filtros libres sobre los números naturales. Además, se caracterizan nociones comunes de la topología como: punto de adherencia o acumulación y el comportamiento de sucesiones F−convergentes bajo funciones continuas. Tal y como ya se habia mencionado, en el año 2000 Kostyrko, Šalát y Wilczyński generalizan la noción de convergencia por medio de una estructura dual a la de filtros: los ideales. En este artículo, para un ideal I, se introduce la noción de I−convergencia, se estudian propiedades y caracterizaciones, entre otras cosas. Sobre la misma década se introducen las nociones de sucesión I−Cauchy, I−convergencia débil e I−convergencia débil∗. La noción de I−Cauchy fue introducida en el año 2005, por Dems, en este trabajo se estudia la relación que existe entre las sucesiones I−Cauchy y las sucesiones I−convergentes, aun cuando podría pensarse que estas nociones podrían conducir a un I−espacio de Banach, sorprende leer el resultado proporcionado por los autores en donde caracterizan los espacios de Banach en términos de sucesiones I−Cauchy y las sucesiones I− convergentes, lo cual proporciona una herramienta adicional para el estudio de este tipo de espacios. En el año 2010 Pelihvan, Şençimen y Yaman trabajan las nociones de I−convergencia débil e I−débil∗ y establecen propiedades de éstas similares a las que satisfacen las sucesiones débilmente convergente y las sucesiones de operadores débilmente* convergentes. En este trabajo, se realiza un estudio de nociones de convergencia desde el punto de vista de filtros, lo cual representa un aporte modesto a la literatura ya que hasta la fecha no se han encontrado referencias que evidencien la existencia de estas. Finalmente, las notaciones asintóticas son comprendidas como la herramienta fundamental para estimar la complejidad computacional de los algoritmos, es decir, estudiar su tasa de crecimiento. Teniendo en cuenta la naturaleza de las notaciones asintóticas, es posible interpretarlas en términos de sucesiones y, por tanto, generalizarlas usando filtros. De manera que, en este trabajo, se introduce una generalización de las notaciones asintóticas: OF y oF, se establecen relaciones entre estas dos notaciones, las propiedades que satisfacen, así como también se relacionan con las nociones previamente definidas y estudiadas.

• Fecha de publicación: 2021
• Institución: Universidad del Rosario
• Repositorio: Repositorio EdocUR - U. Rosario
• Idioma: spa
• OAI Identifier: oai:repository.urosario.edu.co:10336/33789
• Acceso en línea: https://doi.org/10.48713/10336_33789; https://repository.urosario.edu.co/handle/10336/33789
• Palabra clave: Filtros; Ultrafiltros; Convergencia; Sucesiones; Notación asintótica; Matemáticas; Filters; Ultrafiltes; Banach; Convergence; Sequences; Asymptotic notations
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