Caracterización de hipervariedades mínimas en esferas. (2006)
Empezaré dando 4 aspectos del proyecto que tengo en el momento con Colciencias: (i) título: Clasificación de variedades área minimizadoras en R8, (ii) Duración: 18 meses, (iii) Resultados obtenidos: 2 artículos de carácter nacional, 6 artículos de carácter internacional y el bosquejo de un libro y (iv) Fecha de culminación: Junio del presente año. El proyecto que presentaré en estas 14 páginas puede considerarse como la segunda parte de mi proyecto anterior y su objetivo general es encontrar una forma de empezar una clasificación de hipervariedades mínimas en la esfera unidad n dimensional Sn Ì Rn+1. Lo ideal sería un resultado similar al resultado para superficies compactas que establece: (i) A cada superficie compacta se le puede asociar un número entero, su característica de Euler; (ii) las únicas posibles características de Euler de superficies compactas son 2, 1,0, -1, -2,... ; (iii) existen ejemplos de superficies compactas con cada una de estas características de Euler; (iv) si sabemos sobre la orientabilidad de una superficie podemos decidir que superficie es, salvo un homeomorfismo, sólo conociendo su característica de Euler. Analizando paso a paso este ejemplo de clasificación de superficies compactas podemos deducir que la filosofía detrás de una clasificación, está dada por el siguiente proceso: (1) Se define el conjunto X que se quiere clasificar. En este caso X es el conjunto de superficies compactas. (2) Se decide cuando dos elementos serán considerados iguales en la clasificación que tendrá lugar. En este caso, dos superficies compactas son consideradas iguales si existe un homeomorfismo entre ellas. (3) Se decide qué invariantes serán utilizados en esta clasificación. Un invariante se puede definir como una funcional c:X¿R la cual satisface que c(S1)=c(S2), siempre que S1 sea considerado igual a S2 en el paso (2). En este caso los invariantes utilizados fueron la característica de Euler y la orientabilidad de la superficie, la cual puede ser tomada como una funcional que asigna el valor 1 a toda superficie orientable y el valor 0 a toda superficie no orientable. (4) Se analizan los posibles valores que los invariantes pueden tomar, en este caso el teorema correspondiente a este paso, es el resultado que dice que los únicos posibles valores de la característica de Euler de una superficie compacta son 2,1,0,-1,-2,... . (5) Para cada posible combinación de los valores de los invariantes utilizados, se trata de determinar explícitamente todos los elementos en X que tienen estos invariantes, por ejemplo, en nuestro caso, para los valores: característica de Euler 0 y orientablilidad 0, el único ejemplo es la botella de Klein, mientras que para los valores: característica de Euler 0 y orientabilidad 1, el único ejemplo es un toro. Bajo este contexto, los primeros dos pasos de la clasificación que plantea el objetivo general del presente proyecto son: (1) Tomar X como el conjunto de hipervariedades encajadas en Sn las cuales son compactas y mínimas. (2) Dos hipervariedades son consideradas iguales si existe una isometría de Sn que envía una en la otra. Para el tercer paso tengo 4 propuestas para el invariante que podría ser utilizado; en la sección correspondiente al marco teórico explicaré en detalle el significado de estos invariantes. (3.1) Propuesta 1: Tomar el índice de estabilidad, el cual es un número entero. (3.2) Propuesta 2: Tomar el primer valor propio del operador de estabilidad, este es un valor real negativo. (3.3) Propuesta 3: Tomar el promedio de la función que a cada punto de la hipervariedad le asigna la norma al cuadrado de la segunda forma fundamental, este es un valor real no negativo. (3.4) Propuesta 4: Tomar la característica de Euler en el caso en que se trate de una superficie en la esfera unidad 3 dimensional.