Sucesiones de sidón y conjunto Bh[g] (2005)
Sean h, g enteros positivos, con h ³ 2, A un conjunto de enteros. Para todo entero s, mediante sA,h(s) denotamos el número de representaciones de s como suma de h elementos de A: sA,h(s) := # (a1,...,ah)gAh : s = a1 + ... + ah , a1 R ... R ah ¡. Decimos que A es un conjunto Bh¦g§ o que A pertenece a la clase Bh¦g§ si sA,h(s) R g , para todo entero s. Los conjuntos Bh¦1§ son llamados conjuntos Bh y los conjuntos B2 se conocen también como conjuntos de Sidon. En el caso finito, el problema fundamental consiste en obtener buenas estimaciones para el máximo cardinal de un conjunto Bh¦g§ contenido en el conjunto de los primeros N enteros positivos. Es decir, se trata de analizar el comportamiento asintótico de la función Fh,g(N) := Máx sAs : Aa 1,...,N¡ , Ai Bh¦g§ ¡. y responder la pregunta ¿ límN}' ( Fh,g(N)/ N1/h ) existe ?. En el caso infinito, sea A(N) el número de elementos de A que son menores o iguales que N, es decir A(N) := sAO¦1,N§s. Aquí, interesa estudiar el crecimiento de la función A(N). Para algunos casos particulares, los mejores resultados conocidos, hasta el presente son los siguientes. o Para g=1, h=2. En el caso finito, después de los resultados de Erdos, Bose, Chowla y otros, hoy sabemos que: límN}' ( F2,1(N)/ N1/2 ) = 1. En el caso infinito, Kruckeberg probó que existe una sucesión de Sidon, infinita, A tal que lím sup N}' ( A(N)/N1/2 ) S 1/¿2. Por el otro lado, Erdos demostró que la relación lím inf N}' ( A(N) (logN/N)1/2 ) V 1, es válida sobre la clase de todas las sucesiones A en la clase B2. o Para g=1, h>2. En el caso finito, la siguiente pregunta no ha sido respondida en su totalidad ¿Es verdad que Fh(N) = ( 1 + o(1) )N1/h, para todo h S 2? En el caso infinito, la pregunta por responder es la siguiente. ¿ Es válida la relación lím inf N}' ( A(N) N1/h / (log N)1-1/h ) < ', para toda sucesión A en la clase Bh¦1§? o Cuando g=2, h=2. En el caso finito, los mejores resultados conocidos implican que 3/2 R lím inf N}'(F2,2(N)/¿N) R lím sup N}'(F2,2(N)/¿N) R ¿6. Mientras que en el caso infinito sabemos que existe una sucesión A en la clase B2¦2§ tal que lím sup N}'(A(N) / ¿N) S 2/¿3. o En general, cuando hS2 y gS2. No se conoce algún resultado similar a los de Erdos para el caso h=2 y g=1. Así que este problema será el principal objeto de investigación. En este proyecto intentaremos mejorar los resultados conocidos sobre las cotas inferiores y superiores para la función Fh,g(N). Comenzaremos analizando dicha posibilidad para cada una de las siguientes funciones particulares F2,2(N). F2,g(N), con g>2. Fh,1(N), con h>2. Fh,g(N), con h>2 y g>1. A medida que obtengamos alguna mejora en el caso finito, procederemos a identificar su posible aplicación o extensión al caso infinito. Por otro lado, aspiramos a: o Elaborar y someter a publicación al menos dos (2) artículos de carácter divulgativo y dos (2) artículos especializados. o Entrenar ocho (8) estudiantes de pregrado, de los cuales al menos dos (2) se vincularán a programas de maestría y dos (2) a programas de doctorado. Para el logro de las metas anteriores, consideramos las siguientes actividades: o Propuestas de Trabajo de Grado. En cada uno de los núcleos problemáticos del proyecto. o Seminario Regional. Inscribir el seminario regional de ""Álgebra y Teoría de Números"" en el Plan de Actividades de la Escuela Regional de Matemáticas. o Materiales Especiales. Sobre los fundamentos de la temática del proyecto. o Cursos de Capacitación. Ofrecidos tanto regional como nacionalmente. o Divulgación en Congresos. Presentar en los diferentes eventos académicos nacionales informes sobre el desarrollo del proyecto. o Publicaciones en Revistas Especializadas. Elaborar y someter a publicación al menos dos (2) artículos divulgativos. Aquellos resultados que impliquen algún cambio de estado en el conocimiento serán sometidos a publicación en revistas científicas con arbitraje internacional.