Ecuaciones diferenciales en mecánica de fluidos y ecuaciones diferenciales dispersivas. (2019)
La presente propuesta de investigación se enmarca dentro de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Se plantean cinco (5) problemas de investigación. El primero de ellos es un problema de control óptimo en un modelo de convección térmica, el cual consiste en encontrar parámetros óptimos en las ecuaciones de estado dadas por el modelo de Rayleigh-Bénard-Marangoni, de manera tal que la velocidad y temperatura asociadas mantengan unas configuraciones deseadas. El modelo de Rayleigh-Bénard-Marangoni corresponde a un acoplamiento entre las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación del calor, con condiciones de frontera de tipo mixto (Dirichlet, Neumann y Robin). El segundo problema, corresponde al análisis de un modelo de Quimiotaxis acoplado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Además de la búsqueda de soluciones al modelo, se plantea un problema de control. En tercer lugar, queremos analizar la buena colocación local y global en diversos espacios de funciones, de un modelo dispersivo, que denominaremos ecuación de Hartree-Schrödinger, el cual consiste de la ecuación de Schrödinger de cuarto orden, no lineal, con dispersión dirigida, y con no linealidad proveniente de un potencial que resuelve un modelo elíptico tipo Poisson. En cuarto lugar, estudiamos la existencia de soluciones débiles y fuertes para un problema de valor inicial asociado a las ecuaciones de fluidos incompresibles con densidad variable y con viscosidad dependiente del tensor de deformación (fluidos no newtonianos). Finalmente, queremos aportar resultados de existencia de solución a un sistema elíptico asociado a las ecuaciones estacionarias de los fluidos no newtonianos con densidad variable en dominios no acotados, sistema que corresponde al Problema de Leray en el caso de fluidos no newtonianos y con densidad variable.