Familias Möbius invariantes. (2006)
En este proyecto proponemos investigar propiedades de funciones meromorfas definidas en el disco unitario del plano complejo que son invariantes bajo la acción de dos grupos: uno que actúa en el dominio y otro que lo hace sobre la imagen. En el dominio actúa el grupo de automorfismos conformes del disco unitario, y sobre la imagen lo hace, o bien, el grupo total de las transformaciones de Möbius (automorfismos conformes de la Esfera de Riemann), o el subgrupo de rotaciones de la esfera. Las familias que son invariantes bajo la acción de estos grupos las llamaremos, en forma genérica, Möbius-invariantes. Son varias las investigaciones conocidas en Análisis Complejo en las que el concepto de invarianza aparece ligado a familias de funciones analíticas o meromorfas. Mencionamos específicamente los trabajos de Hayman [Hay55, Hay64] y Pommerenke [Po64a, Po64b]. Hayman considera clases de funciones meromorfas definidas en el disco unitario que resultan invariantes cuando en el dominio actúa el grupo de automorfismos conformes del disco. Pommerenke, por su parte, considera clases de funciones analíticas definidas en el disco unitario que son invariantes si en el dominio actúa el grupo de automorfismos conformes del disco y sobre la imagen lo hace el grupo de automorfismos conformes del plano complejo. Otras alternativas han sido presentadas por Ma y Minda [MaMi92a, MaMi92b, MaMi94, MaMi95], en las cuales el grupo que actúa sobre la imagen es el de los automorfismos conformes del disco unitario, o el de movimientos rígidos del plano, o el de las rotaciones de la esfera de Riemann, dependiendo de si se trata de funciones analíticas acotadas, funciones analíticas no acotadas o funciones meromorfas, respectivamente. En relación directa con este proyecto mencionamos las investigaciones realizadas por Chuaqui, Osgood y Pommerenke sobre las funciones de Nehari [ChOs93, ChOs94, ChOsPo96, ChPo99]. El invariante fundamental considerado en estos trabajos es la norma Schwarziana que mide, grosso modo, qué tan distinta es una función meromorfa de una transformación de Möbius. En el desarrollo del proyecto usaremos, fundamentalmente, métodos provenientes de la teoría de mapeos conformes (teoremas de distorsión local), de la geometría diferencial (el concepto de curvatura), y de las ecuaciones diferenciales (desigualdades diferenciales). Herramientas computacionales tales como Mathematica, Matlab, o Maple, se usarán para apoyar la validez o desvirtuar las conjeturas que aparecen durante la investigación. Objetivo general Investigar la relación entre el concepto general de invarianza para una familia de funciones meromorfas y números específicos (invariantes) que describen el ¿tamaño¿ de la familia. Objetivos específicos 1.Identificar invariantes para familias meromorfas Möbius-invariantes e investigar las relaciones existentes entre ellos; específicamente, entre la norma Schwarziana y la norma esférica. 2.Establecer consecuencias del ¿tamaño¿ de una familia (con respecto a un determinado invariante) relativas al crecimiento, distorsión local y normalidad de la familia. 3.Investigar familias concretas de funciones Möbius-invariantes; en particular, aquellas que resultan al imponer cotas a un invariante específico. Resultados esperados 1.Resolver, total o parcialmente, problemas generales de familias Möbius-invariantes relativos al crecimiento, la distorsión local y la normalidad. 2.Estudiar familias específicas de familias Möbius-invariantes cuya definición depende de acotamientos impuestos a un determinado invariante. 3.Participar en la formación de al menos dos magísteres. Las tesis de grado de los magísteres serán sobre temas enmarcados en este proyecto. Estrategias de comunicación 1.Se publicarán al menos dos artículos en revistas internacionales indexadas con los resultados de la investigación. 2.Se presentarán ponencias en eventos nacionales y/o internacionales sobre los resultados de la investigación.